Решить методом Хорды, нарисуй график

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (Метод хорд)

Дано уравнение: x + \sin{x} - 1 = 0

Точность вычислений:
\varepsilon = 0.001

Метод хорд (метод секущих)

Метод хорд — это численный метод нахождения корней уравнения, который использует приближения, построенные на основе секущих линий.

Шаги решения:

1. Выбираем начальный отрезок [a, b], на котором функция меняет знак.
2. Используем формулу для вычисления следующего приближения:  x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} 
3. Повторяем процесс, пока разница между последовательными значениями |x_{n+1} - x_n| не станет меньше \varepsilon.

Построим график функции

График поможет определить начальный интервал [a, b], где функция меняет знак.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определяем функцию
def f(x):
    return x + np.sin(x) - 1

# Создаем массив значений x
x = np.linspace(0, 2, 100)
y = f(x)

# Строим график
plt.plot(x, y, label=r'$f(x) = x + \sin{x} - 1$')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid()
plt.legend()
plt.title("График функции")
plt.show()

Найдем корень методом хорд

Выберем начальный интервал [a, b] = [0, 1], так как на этом промежутке функция меняет знак.

# Метод хорд
def chord_method(a, b, eps):
    x0, x1 = a, b
    while abs(x1 - x0) > eps:
        x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))
        x0, x1 = x1, x2
    return x1

# Задаем начальные условия
a, b = 0, 1
eps = 0.001
root = chord_method(a, b, eps)

print(f"Приближенное значение корня: {root:.6f}")

Ответ:

Приближенное значение корня уравнения x + \sin{x} - 1 = 0 при точности \varepsilon = 0.001 найдено методом хорд. График функции также построен для визуализации.