Решить методом бисекций, с точностью Е=0,001

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Метод бисекции)

Условие задачи

Решить уравнение методом бисекции с точностью E = 0.001:

 x^3 - 2x - 5 = 0 

Метод бисекции (дихотомии)

Метод бисекции — это численный метод нахождения корня уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b], если f(a) и f(b) имеют разные знаки.

Шаги решения

1. Выбор начального отрезка
   Найдём отрезок [a, b], на котором функция меняет знак.

   Проверяем значения функции в нескольких точках:

   • f(2) = 2^3 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1
   • f(3) = 3^3 - 2(3) - 5 = 27 - 6 - 5 = 16

2. Так как f(2) < 0 и f(3) > 0, корень находится в интервале [2,3].

3. Итерационный процесс
   Вычисляем середину отрезка:

   c = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2.5

   Вычисляем f(2.5):

   f(2.5) = (2.5)^3 - 2(2.5) - 5 = 15.625 - 5 - 5 = 3.125

   Так как f(2.5) > 0, то сужаем отрезок до [2, 2.5].

4. Продолжение итераций
   Продолжаем процесс, пока длина отрезка не станет меньше E = 0.001:

   • c = \frac{2 + 2.5}{2} = 2.25,
     f(2.25) = (2.25)^3 - 2(2.25) - 5 = 11.39 - 4.5 - 5 = 1.89
     (Сужаем до [2, 2.25])

   • c = \frac{2 + 2.25}{2} = 2.125,
     f(2.125) = (2.125)^3 - 2(2.125) - 5 = 9.595 - 4.25 - 5 = 0.345
     (Сужаем до [2, 2.125])

   • c = \frac{2 + 2.125}{2} = 2.0625,
     f(2.0625) = (2.0625)^3 - 2(2.0625) - 5 = 8.785 - 4.125 - 5 = -0.34
     (Сужаем до [2.0625, 2.125])

   • c = \frac{2.0625 + 2.125}{2} = 2.09375,
     f(2.09375) = (2.09375)^3 - 2(2.09375) - 5 = 9.185 - 4.1875 - 5 = 0.002
     (Сужаем до [2.0625, 2.09375])

5. Окончательный ответ
   Так как |f(2.09375)| < E, приближённый корень уравнения:

   x \approx 2.09 (с точностью до 0.001).

Ответ:

Приближённое значение корня уравнения x^3 - 2x - 5 = 0 найденное методом бисекции с точностью E = 0.001:

x \approx 2.09