Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
упражнения 82 и 84 только буква а и б
Предмет: Математика
Раздел: Теория чисел — Диофантовы уравнения (уравнения с целыми решениями)
Рассмотрим упражнения 82 (а, б) и 84 (а, б).
Задача — решить линейные диофантовы уравнения, то есть найти все целые решения уравнений вида:
ax + by = c
где a, b, c — целые числа, а x, y — переменные, принимающие целые значения.
Шаг 1: Найдём НОД(5, 7) = 1. Так как 1 делит правую часть, уравнение имеет решения.
Используем расширенный алгоритм Евклида:
7 = 1·5 + 2 5 = 2·2 + 1 2 = 2·1 + 0
Теперь обратный ход:
1 = 5 - 2·2 = 5 - 2·(7 - 1·5) = 5 - 2·7 + 2·5 = 3·5 - 2·7
Значит, частное решение:
x₀ = 3, y₀ = 2
Общее решение:
x = 3 + 7t \ y = 2 + 5t,\quad t \in \mathbb{Z}
Проверим НОД(12, 17) = 1, 1 делит 2 ⇒ решение существует.
Используем расширенный алгоритм Евклида:
17 = 1·12 + 5 12 = 2·5 + 2 5 = 2·2 + 1 2 = 2·1 + 0
Обратный ход:
1 = 5 - 2·2 = 5 - 2·(12 - 2·5) = 5·5 - 2·12 = (17 - 12)·5 - 2·12 = 5·17 - 7·12
То есть:
1 = 5·17 - 7·12
Умножим обе части на 2:
2 = 10·17 - 14·12
Приведем к виду:
2 = -14·12 + 10·17 ⇒ x₀ = -14, y₀ = 10
Общее решение:
x = -14 + 17t \ y = 10 - 12t,\quad t \in \mathbb{Z}
Найдем НОД(15, 21) = 3. Так как 3 не делит 2, уравнение не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
Проверим НОД(31, 16) = 1. 1 делит 9 ⇒ решение существует.
Расширенный алгоритм Евклида:
31 = 1·16 + 15 16 = 1·15 + 1 15 = 15·1 + 0
Обратный ход:
1 = 16 - 1·15 = 16 - 1·(31 - 1·16) = 2·16 - 1·31
Умножим на 9:
9 = 18·16 - 9·31
Преобразуем к виду:
9 = -9·31 + 18·16
Значит:
x₀ = -9, y₀ = -18
Общее решение:
x = -9 + 16t \ y = -18 + 31t,\quad t \in \mathbb{Z}
Теперь найдём такие x, что 33 \leq x \leq 77:
-9 + 16t \geq 33 \Rightarrow 16t \geq 42 \Rightarrow t \geq 3 \ -9 + 16t \leq 77 \Rightarrow 16t \leq 86 \Rightarrow t \leq 5
Возможные значения t = 3, 4, 5
Подставим:
Ответ:
Общее решение:
x = -9 + 16t \ y = -18 + 31t
Частные решения при 33 \leq x \leq 77:
(x, y) = (39, 75), (55, 106), (71, 137)
Если нужно, могу продолжить с другими пунктами.