Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
упражнение 72 только буква а и б
Предмет: Математика
Раздел: Теория чисел — сравнения по модулю (конгруенции)
Рассмотрим упр. 72, части а и б.
Нам нужно решить линейное сравнение по модулю 17.
Сначала проверим, существует ли решение. Для этого найдём НОД (наибольший общий делитель) чисел 12 и 17:
\gcd(12, 17) = 1
Так как НОД равен 1, решение существует и единственно по модулю 17.
Найдём обратный элемент к 12 по модулю 17, то есть такое число 12^{-1}, что:
12 \cdot 12^{-1} \equiv 1 \pmod{17}
Подбором или расширенным алгоритмом Евклида находим, что:
12^{-1} \equiv 10 \pmod{17}
Теперь умножим обе части сравнения на 10:
10 \cdot 12x \equiv 10 \cdot 9 \pmod{17}
x \equiv 90 \pmod{17}
Вычислим 90 \mod 17:
90 \div 17 = 5 \text{ (остаток } 5)
Значит:
x \equiv 5 \pmod{17}
✅ Ответ: x \equiv 5 \pmod{17}
Сначала найдём НОД чисел 12 и 21:
\gcd(12, 21) = 3
Так как НОД делит правую часть (6), уравнение имеет именно 3 решения по модулю 21.
Разделим всё уравнение на 3:
\frac{12}{3}x \equiv \frac{6}{3} \pmod{\frac{21}{3}}
Получим:
4x \equiv 2 \pmod{7}
Теперь найдём обратный элемент к 4 по модулю 7. Нужно найти 4^{-1} \pmod{7}.
Подбором:
4 \cdot 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}, значит:
4^{-1} \equiv 2 \pmod{7}
Умножим обе части на 2:
x \equiv 4 \pmod{7}
Теперь восстановим решения по модулю 21. Так как мы делили модуль на 3, общее число решений — 3, и они отличаются на \frac{21}{3} = 7.
Значит, все решения:
x \equiv 4, 11, 18 \pmod{21}
✅ Ответ: x \equiv 4, 11, 18 \pmod{21}
Если нужно, могу также объяснить, как найти обратный элемент с помощью расширенного алгоритма Евклида.