Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты 1-го порядка и рассчитать ошибку по сравнению с точным решением

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к математике и, более конкретно, к разделу численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В условии требуется решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты 1-го порядка и рассчитать ошибку по сравнению с точным решением.

Дано:

• Дифференциальное уравнение: \[ y'(x) = x + y + 1 \]
• Начальные условия: \( y(0) = 0 \)
• Интервал: \( x \in [0, 1] \)
• Шаг метода: \( h = 0.1 \)
• Точное решение: \( y(x) = 2e^x - (x + 2) \)

Задача:

1. Решить уравнение методом Рунге-Кутты 1-го порядка (метод Эйлера).
2. Найти значение функции \( y \) при \( x = 1 \).
3. Вычислить погрешность между точным и приближённым решением в точке \( x = 1 \).
4. Привести ответы с тремя значащими цифрами (через запятую).

Пояснение метода Рунге-Кутты 1-го порядка (метод Эйлера):

Метод Эйлера для численного решения ОДУ записывается следующим образом:

\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]

где \( f(x, y) \) — это производная \( y' = x + y + 1 \).

Шаг 1: Численное решение методом Эйлера

Начальные данные:

• \( y(0) = 0 \)
• Шаг \( h = 0.1 \)

Используем метод итеративно для нахождения приближённого значения в точке \( x = 1 \).

Итерации:

1. Шаг 1 (x = 0, y = 0):

   \[ f(0, 0) = 0 + 0 + 1 = 1 \]

   \[ y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 0 + 0.1 \cdot 1 = 0.1 \]

   Таким образом, \( y_1 = 0.1 \).

2. Шаг 2 (x = 0.1, y = 0.1):

   \[ f(0.1, 0.1) = 0.1 + 0.1 + 1 = 1.2 \]

   \[ y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0.1 + 0.1 \cdot 1.2 = 0.22 \]

   Таким образом, \( y_2 = 0.22 \).

3. Шаг 3 (x = 0.2, y = 0.22):

   \[ f(0.2, 0.22) = 0.2 + 0.22 + 1 = 1.42 \]

   \[ y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = 0.22 + 0.1 \cdot 1.42 = 0.362 \]

   Таким образом, \( y_3 = 0.362 \).

4. Шаг 4 (x = 0.3, y = 0.362):

   \[ f(0.3, 0.362) = 0.3 + 0.362 + 1 = 1.662 \]

   \[ y_4 = y_3 + h \cdot f(x_3, y_3) = 0.362 + 0.1 \cdot 1.662 = 0.5282 \]

   Таким образом, \( y_4 = 0.5282 \).

5. Шаг 5 (x = 0.4, y = 0.5282):

   \[ f(0.4, 0.5282) = 0.4 + 0.5282 + 1 = 1.9282 \]

   \[ y_5 = y_4 + h \cdot f(x_4, y_4) = 0.5282 + 0.1 \cdot 1.9282 = 0.72102 \]

   Таким образом, \( y_5 = 0.72102 \).

6. Шаг 6 (x = 0.5, y = 0.72102):

   \[ f(0.5, 0.72102) = 0.5 + 0.72102 + 1 = 2.22102 \]

   \[ y_6 = y_5 + h \cdot f(x_5, y_5) = 0.72102 + 0.1 \cdot 2.22102 = 0.94312 \]

   Таким образом, \( y_6 = 0.94312 \).

7. Шаг 7 (x = 0.6, y = 0.94312):

   \[ f(0.6, 0.94312) = 0.6 + 0.94312 + 1 = 2.54312 \]

   \[ y_7 = y_6 + h \cdot f(x_6, y_6) = 0.94312 + 0.1 \cdot 2.54312 = 1.19743 \]

   Таким образом, \( y_7 = 1.19743 \).

8. Шаг 8 (x = 0.7, y = 1.19743):

   \[ f(0.7, 1.19743) = 0.7 + 1.19743 + 1 = 2.89743 \]

   \[ y_8 = y_7 + h \cdot f(x_7, y_7) = 1.19743 + 0.1 \cdot 2.89743 = 1.48717 \]

   Таким образом, \( y_8 = 1.48717 \).

9. Шаг 9 (x = 0.8, y = 1.48717):

   \[ f(0.8, 1.48717) = 0.8 + 1.48717 + 1 = 3.28717 \]

   \[ y_9 = y_8 + h \cdot f(x_8, y_8) = 1.48717 + 0.1 \cdot 3.28717 = 1.81589 \]

   Таким образом, \( y_9 = 1.81589 \).

10. Шаг 10 (x = 0.9, y = 1.81589):

    \[ f(0.9, 1.81589) = 0.9 + 1.81589 + 1 = 3.71589 \]

    \[ y_{10} = y_9 + h \cdot f(x_9, y_9) = 1.81589 + 0.1 \cdot 3.71589 = 2.18748 \]

    Таким образом, \( y_{10} = 2.18748 \).

11. Шаг 11 (x = 1, y = 2.18748):

    \[ f(1, 2.18748) = 1 + 2.18748 + 1 = 4.18748 \]

    \[ y_{11} = y_{10} + h \cdot f(x_{10}, y_{10}) = 2.18748 + 0.1 \cdot 4.18748 = 2.60623 \]

    Таким образом, \( y_{11} = 2.60623 \).

Шаг 2: Точное решение в точке \( x = 1 \)

Точное решение уравнения дано:

\[ y(x) = 2e^x - (x + 2) \]

Подставляем \( x = 1 \):

\[ y(1) = 2e^1 - (1 + 2) = 2e - 3 = 2 \cdot 2.71828 - 3 = 5.43656 - 3 = 2.43656 \]

Шаг 3: Вычисление погрешности

Погрешность вычисляется как модуль разности между точным и приближённым значением.

Ответ:

• Значение функции \( y(1) \) по численному методу: \( 2.606 \).
• Погрешность: \( 0.170 \).
• Ответ в формате: \( 2.606, 0.170 \).

\[ \text{Погрешность} = |2.43656 - 2.60623| = 0.16967 \]