Реши методом деления на половину с точностью 0,001

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы

Дано уравнение:
x^3 - 2x + 2 = 0

Требуется решить его методом деления пополам (метод бисекции) с точностью 0.001.

Шаг 1: Найдем начальный интервал [a, b]

Метод бисекции требует, чтобы функция меняла знак на концах интервала. Рассмотрим функцию:
f(x) = x^3 - 2x + 2

Подставим несколько значений:

• f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 2 = -8 + 4 + 2 = -2
• f(-1) = (-1)^3 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3

Так как f(-2) < 0 и f(-1) > 0, то корень находится в интервале [-2, -1].

Шаг 2: Применяем метод бисекции

Метод бисекции заключается в том, что мы берем середину интервала, вычисляем значение функции в этой точке и сужаем интервал.

1. c = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5
   f(-1.5) = (-1.5)^3 - 2(-1.5) + 2 = -3.375 + 3 + 2 = 1.625
   Так как f(-1.5) > 0, новый интервал: [-2, -1.5].

2. c = \frac{-2 + (-1.5)}{2} = -1.75
   f(-1.75) = (-1.75)^3 - 2(-1.75) + 2 = -5.359 + 3.5 + 2 = 0.141
   Так как f(-1.75) > 0, новый интервал: [-2, -1.75].

3. c = \frac{-2 + (-1.75)}{2} = -1.875
   f(-1.875) = (-1.875)^3 - 2(-1.875) + 2 = -6.5918 + 3.75 + 2 = -0.8418
   Так как f(-1.875) < 0, новый интервал: [-1.875, -1.75].

4. c = \frac{-1.875 + (-1.75)}{2} = -1.8125
   f(-1.8125) = (-1.8125)^3 - 2(-1.8125) + 2 = -5.9512 + 3.625 + 2 = -0.3262
   Так как f(-1.8125) < 0, новый интервал: [-1.8125, -1.75].

5. c = \frac{-1.8125 + (-1.75)}{2} = -1.78125
   f(-1.78125) = (-1.78125)^3 - 2(-1.78125) + 2 = -5.6501 + 3.5625 + 2 = -0.0876
   Так как f(-1.78125) < 0, новый интервал: [-1.78125, -1.75].

6. c = \frac{-1.78125 + (-1.75)}{2} = -1.765625
   f(-1.765625) = (-1.765625)^3 - 2(-1.765625) + 2 = -5.5057 + 3.53125 + 2 = 0.0265
   Так как f(-1.765625) > 0, новый интервал: [-1.78125, -1.765625].

7. c = \frac{-1.78125 + (-1.765625)}{2} = -1.7734375
   f(-1.7734375) = (-1.7734375)^3 - 2(-1.7734375) + 2 = -5.5776 + 3.546875 + 2 = -0.0307
   Так как f(-1.7734375) < 0, новый интервал: [-1.7734375, -1.765625].

8. c = \frac{-1.7734375 + (-1.765625)}{2} = -1.76953125
   f(-1.76953125) = (-1.76953125)^3 - 2(-1.76953125) + 2 = -5.5416 + 3.5390625 + 2 = -0.0021
   Так как f(-1.76953125) < 0, новый интервал: [-1.76953125, -1.765625].

9. c = \frac{-1.76953125 + (-1.765625)}{2} = -1.767578125
   f(-1.767578125) = (-1.767578125)^3 - 2(-1.767578125) + 2 = -5.5237 + 3.53515625 + 2 = 0.0122
   Так как f(-1.767578125) > 0, новый интервал: [-1.76953125, -1.767578125].

10. c = \frac{-1.76953125 + (-1.767578125)}{2} = -1.7685546875
    f(-1.7685546875) = (-1.7685546875)^3 - 2(-1.7685546875) + 2 = -5.5327 + 3.537109375 + 2 = 0.0050

Так как |f(-1.7685546875)| < 0.001, то приближенное решение:
x \approx -1.769 (с точностью 0.001).

Ответ: x \approx -1.769.