Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Определение задачи:

Данное задание относится к курсу численных методов. Конкретный раздел — решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задача состоит в вычислении абсолютного и максимального относительного числа обусловленности матрицы \( A \) в первой (столбцовой) норме.

Дано:

Матрица A:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \]

Пошаговое решение:

1. Выбор первой нормы (столбцовая норма):

Первая норма матрицы (столбцовая норма) — это максимальная сумма модулей элементов столбца матрицы. Для нашей матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \]

1-й столбец: \[ |8| + |4| = 8 + 4 = 12 \]

2-й столбец: \[ |-3| + |-8| = 3 + 8 = 11 \]

Максимальная сумма элементов по столбцам: \[ \|A\|_1 = \max(12, 11) = 12 \]

2. Вычисление обратной матрицы \( A^{-1} \):

Найдём определитель \( \det A \) для оригинальной матрицы:

\[ \det(A) = (8 \times -8) - (4 \times -3) = -64 + 12 = -52 \]

Теперь найдём обратную матрицу:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{сопутствующая матрица} \]

Сопутствующая матрица для \( A \):

\[ \text{Миноры} = \begin{pmatrix} -8 & -4 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \]

Таким образом, обратная матрица:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-52} \begin{pmatrix} -8 & -4 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{52} & \frac{4}{52} \\ \frac{-3}{52} & \frac{-8}{52} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{13} & \frac{1}{13} \\ \frac{-3}{52} & \frac{-2}{13} \end{pmatrix} \]

3. Вычисление первой нормы для обратной матрицы \( A^{-1} \):

Рассчитаем суммы элементов для каждого столбца:

1-й столбец: \[ \left| \frac{2}{13} \right| + \left| \frac{-3}{52} \right| = \frac{2}{13} + \frac{3}{52} = \frac{8}{52} + \frac{3}{52} = \frac{11}{52} \]

2-й столбец: \[ \left| \frac{1}{13} \right| + \left| \frac{-2}{13} \right| = \frac{1}{13} + \frac{2}{13} = \frac{3}{13} \]

Максимальная сумма: \[ \|A^{-1}\|_1 = \max\left(\frac{11}{52}, \frac{3}{13}\right) = \frac{3}{13} = \frac{12}{52} \]

4. Число обусловленности матрицы:

Число обусловленности — это произведение нормы матрицы на норму её обратной матрицы:

Ответ:

• Абсолютное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме: \(\kappa_1(A) \approx 2.769\).
• Максимальное относительное число обусловленности в первой норме совпадает с абсолютным и также равно \(\kappa_1(A) \approx 2.769\).

\[ \kappa_1(A) = \|A\|_1 \|A^{-1}\|_1 = 12 \times \frac{12}{52} = \frac{144}{52} = \frac{36}{13} \approx 2.769 \]