Решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) методом Рунге-Кутты первого порядка

Предмет: Численные методы (математика)

Раздел: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание требует решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) методом Рунге-Кутты первого порядка, также известным как метод Эйлера.

Дано дифференциальное уравнение: \[ y' = \frac{2}{x}y + x \] на промежутке \( x \in [1, 1.5] \), с начальным условием \( y(1) = 0 \). Шаг вычислений \( h = 0.05 \).

Также дана точная аналитическая функция: \[ y(x) = x^2 \ln(x) \]. Необходимо вычислить приближенное и точное решение в точке \( x = 1.5 \) и найти погрешность.

1. Метод Рунге-Кутты 1-го порядка (Метод Эйлера)

Метод Эйлера использует аппроксимацию для получения следующего значения \( y_{n+1} \) через текущее значение \( y_n \) следующим образом:

\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]

где \( f(x_n, y_n) \) – это правая часть уравнения \( y' = \frac{2}{x}y + x \).

Начальные условия: \( y(1) = 0 \), \( h = 0.05 \).

Шаг 1: \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 0 \)

\[ y' = \frac{2}{1} \cdot 0 + 1 = 1 \]

\[ y_1 = 0 + 0.05 \cdot 1 = 0.05 \]

Шаг 2: \( x_1 = 1.05 \), \( y_1 = 0.05 \)

\[ y' = \frac{2}{1.05} \cdot 0.05 + 1.05 = \frac{0.1}{1.05} + 1.05 \approx 0.0952 + 1.05 = 1.1452 \]

\[ y_2 = 0.05 + 0.05 \cdot 1.1452 = 0.05 + 0.05726 = 0.10726 \]

Шаг 3: \( x_2 = 1.10 \), \( y_2 = 0.10726 \)

\[ y' = \frac{2}{1.10} \cdot 0.10726 + 1.10 = \frac{0.21452}{1.10} + 1.10 \approx 0.195 + 1.10 = 1.295 \]

\[ y_3 = 0.10726 + 0.05 \cdot 1.295 = 0.10726 + 0.06475 = 0.17201 \]

Шаг 4: \( x_3 = 1.15 \), \( y_3 = 0.17201 \)

\[ y' = \frac{2}{1.15} \cdot 0.17201 + 1.15 = \frac{0.34402}{1.15} + 1.15 \approx 0.299 + 1.15 = 1.449 \]

\[ y_4 = 0.17201 + 0.05 \cdot 1.449 = 0.17201 + 0.07245 = 0.24446 \]

Шаг 5: \( x_4 = 1.20 \), \( y_4 = 0.24446 \)

\[ y' = \frac{2}{1.20} \cdot 0.24446 + 1.20 = \frac{0.48892}{1.20} + 1.20 \approx 0.40743 + 1.20 = 1.60743 \]

\[ y_5 = 0.24446 + 0.05 \cdot 1.60743 = 0.24446 + 0.08037 = 0.32483 \]

Шаг 6: \( x_5 = 1.25 \), \( y_5 = 0.32483 \)

\[ y' = \frac{2}{1.25} \cdot 0.32483 + 1.25 = \frac{0.64966}{1.25} + 1.25 \approx 0.51973 + 1.25 = 1.76973 \]

\[ y_6 = 0.32483 + 0.05 \cdot 1.76973 = 0.32483 + 0.08849 = 0.41332 \]

Шаг 7: \( x_6 = 1.30 \), \( y_6 = 0.41332 \)

\[ y' = \frac{2}{1.30} \cdot 0.41332 + 1.30 = \frac{0.82664}{1.30} + 1.30 \approx 0.6351 + 1.30 = 1.9351 \]

\[ y_7 = 0.41332 + 0.05 \cdot 1.9351 = 0.41332 + 0.09676 = 0.51008 \]

Шаг 8: \( x_7 = 1.35 \), \( y_7 = 0.51008 \)

\[ y' = \frac{2}{1.35} \cdot 0.51008 + 1.35 = \frac{1.02016}{1.35} + 1.35 \approx 0.7557 + 1.35 = 2.1057 \]

\[ y_8 = 0.51008 + 0.05 \cdot 2.1057 = 0.51008 + 0.10529 = 0.61537 \]

Шаг 9: \( x_8 = 1.40 \), \( y_8 = 0.61537 \)

\[ y' = \frac{2}{1.40} \cdot 0.61537 + 1.40 = \frac{1.23074}{1.40} + 1.40 \approx 0.8791 + 1.40 = 2.2791 \]

\[ y_9 = 0.61537 + 0.05 \cdot 2.2791 = 0.61537 + 0.11396 = 0.72933 \]

Шаг 10: \( x_9 = 1.45 \), \( y_9 = 0.72933 \)

\[ y' = \frac{2}{1.45} \cdot 0.72933 + 1.45 = \frac{1.45866}{1.45} + 1.45 \approx 1.0067 + 1.45 = 2.4567 \]

\[ y_{10} = 0.72933 + 0.05 \cdot 2.4567 = 0.72933 + 0.12283 = 0.85216 \]

Шаг 11: \( x_{10} = 1.50 \), \( y_{10} = 0.85216 \)

\[ y' = \frac{2}{1.50} \cdot 0.85216 + 1.50 = \frac{1.70432}{1.50} + 1.50 \approx 1.1362 + 1.50 = 2.6362 \]

\[ y_{11} = 0.85216 + 0.05 \cdot 2.6362 = 0.85216 + 0.13181 = 0.98397 \]

Приближенное решение:

\[ y \approx 0.984 \text{ при } x = 1.5 \]

2. Точное решение:

Используем аналитическое выражение для точного решения:

\[ y(x) = x^2 \ln(x) \]

Подставим \( x = 1.5 \):

\[ y(1.5) = 1.5^2 \ln(1.5) = 2.25 \ln(1.5) \approx 2.25 \cdot 0.40547 \approx 0.912 \]

3. Погрешность:

\[ \text{Погрешность} = |0.984 - 0.912| = 0.072 \]

Ответы:

Приближенное значение функции: \( 0.984 \)

Погрешность: \( 0.072 \)