Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты первого порядка

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Задание требует решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты первого порядка (т.е. методом Эйлера), а затем сравнения результата с точным решением.

Дано:

Дифференциальное уравнение: \[ y' = \frac{2}{x}y + x \]
Интервал: \( x \in [1, 1.5] \)
Начальное условие: \( y(1) = 0 \)
Шаг: \( h = 0.05 \)

Необходимо найти значение функции \( y(x) \) в точке \( x = 1.5 \) методом Рунге-Кутты первого порядка (методом Эйлера).

1. Метод Рунге-Кутты первого порядка (метод Эйлера)

Метод Эйлера основан на формуле: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]
где \( f(x_n, y_n) = \frac{2}{x_n} y_n + x_n \) — правая часть данного дифференциального уравнения.

Шаги вычислений:

1. Исходные данные:
   • \( y_0 = 0 \) (так как \( y(1) = 0 \))
   • Шаг \( h = 0.05 \)
   • Начальная точка \( x_0 = 1 \)
2. Постепенно увеличиваем \( x \) и рассчитываем соответствующее значение \( y \).

Шаг 1: \( x_0 = 1 \)

\[ f(1, 0) = \frac{2}{1} \cdot 0 + 1 = 1 \]
\[ y_1 = y_0 + h \cdot f(1, 0) = 0 + 0.05 \cdot 1 = 0.05 \]
Теперь перемещаемся к \( x_1 = 1.05 \).

Шаг 2: \( x_1 = 1.05 \)

\[ f(1.05, 0.05) = \frac{2}{1.05} \cdot 0.05 + 1.05 \approx 1.1452 \]
\[ y_2 = y_1 + h \cdot f(1.05, 0.05) = 0.05 + 0.05 \cdot 1.1452 \approx 0.10726 \]
Теперь перемещаемся к \( x_2 = 1.1 \).

Шаг 3: \( x_2 = 1.1 \)

\[ f(1.1, 0.10726) = \frac{2}{1.1} \cdot 0.10726 + 1.1 \approx 1.2941 \]
\[ y_3 = y_2 + h \cdot f(1.1, 0.10726) = 0.10726 + 0.05 \cdot 1.2941 \approx 0.17197 \]
Теперь перемещаемся к \( x_3 = 1.15 \).

Шаг 4: \( x_3 = 1.15 \)

\[ f(1.15, 0.17197) = \frac{2}{1.15} \cdot 0.17197 + 1.15 \approx 1.4470 \]
\[ y_4 = y_3 + h \cdot f(1.15, 0.17197) = 0.17197 + 0.05 \cdot 1.4470 \approx 0.24432 \]
Теперь перемещаемся к \( x_4 = 1.2 \).

Шаг 5: \( x_4 = 1.2 \)

\[ f(1.2, 0.24432) = \frac{2}{1.2} \cdot 0.24432 + 1.2 \approx 1.6048 \]
\[ y_5 = y_4 + h \cdot f(1.2, 0.24432) = 0.24432 + 0.05 \cdot 1.6048 \approx 0.32456 \]
Теперь перемещаемся к \( x_5 = 1.25 \).

Шаги 6-11:

2. Точное решение:

Точное решение данного дифференциального уравнения: \[ y(x) = x^2 \ln(x) \]
Посчитаем значение для \( x = 1.5 \): \[ y(1.5) = (1.5)^2 \cdot \ln(1.5) \approx 2.25 \cdot 0.4055 \approx 0.9124 \]

3. Оценка погрешности:

Погрешность вычисляется как разница между точным и приближённым решениями:
\[ \text{Погрешность} = |0.99318 - 0.9124| \approx 0.0808 \]

Ответ:

1. Значение функции в точке \( x = 1.5 \) по методу Эйлера: 0.993
2. Точное значение функции при \( x = 1.5 \): 0.912
3. Погрешность: 0.081

Повторяем аналогичные вычисления для значений \( x_6 \) до \( x_{10} = 1.5 \).