Рассчитать относительное число обусловленности задачи вычисления функции

Предмет: Численные методы / Вычислительная математика. Раздел: Корректность и обусловленность вычислительных задач и алгоритмов.

Задание: Необходимо рассчитать относительное число обусловленности задачи вычисления функции \( y = \arctg(x) \) при \( x = 0 \).

Пояснение:

Чтобы оценить относительное число обусловленности задачи нахождения функции \( y = \arctg(x) \), нам нужно воспользоваться формулой для относительного числа обусловленности. Обычно для это используется следующая формула:

\[ C(x) = \frac{x \cdot f'(x)}{f(x)} \]

Где \( f(x) \) — это наша функция, и \( f'(x) \) — это её производная.

В нашем случае:

• \( f(x) = \arctg(x) \).
• Найдем производную \( f(x) \), то есть производную от арктангенса. Из известного правила дифференцирования арктангенса:

\[ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}. \]

Теперь, для нахождения числа обусловленности при \( x = 0 \), подставим \( x = 0 \) в производную.

\[ f'(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = 1. \]

Следовательно, относительное число обусловленности для этого случая можно представить так:

\[ C(0) = \frac{0 \cdot 1}{\arctg(0)}. \]

Однако \( \arctg(0) = 0 \), и мы получаем неопределенность в виде выражения 0/0.

Заключение:

Относительное число обусловленности при \( x = 0 \) не определено напрямую, так как вычисление даёт неопределенность.