Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
упражнения 44 и 45 только буквы а и б
Предмет: Математика
Раздел: Теория чисел, арифметика по модулю, понятие полной системы вычетов (ПСВ)
Задание: Проверить, образуют ли полную систему вычетов (ПСВ) по модулю [m] следующие наборы чисел.
Полная система вычетов по модулю [m] — это множество из [m] взаимно простых с [m] чисел, каждое из которых сравнимо по модулю [m] с одним и только одним из чисел [0, 1, 2, \ldots, m - 1].
Чтобы проверить, образует ли множество ПСВ по модулю [m]:
Числа: 235, 341, 638, 37, 76, 94, 291
Модуль: [m = 7]
Вычислим остатки по модулю 7:
Получили вычеты: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] — все возможные вычеты по модулю 7.
Вывод: Да, это ПСВ по модулю 7.
Числа: 167, 274, 385, 486, 572, 627, 741
Модуль: [m = 8]
Вычислим остатки по модулю 8:
Получили вычеты: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
(не хватает 0, зато все остальные есть, и они разные)
Вывод: Нет, это не ПСВ по модулю 8, так как отсутствует вычет [0].
Задание: Составьте ПСВ по модулю [m], содержащую указанные числа.
Числа: 234567, 9374562
Модуль: [m = 7]
Найдем остатки:
Нам нужно дополнить до полной системы вычетов по модулю 7, то есть получить все вычеты [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6].
У нас уже есть: [0, 1]
Нужно добавить числа, дающие остатки: [2, 3, 4, 5, 6]
Примеры подходящих чисел:
Ответ: ПСВ по модулю 7:
[234567, 9374562, 2, 3, 4, 5, 6]
Числа: [23^{4567}],\ 937^{4562}
Модуль: [m = 7]
Для определения вычетов, используем малую теорему Ферма:
Если [a] не делится на [p], то
[a^{p-1} \equiv 1 \mod p]
Так как 7 — простое, и 23 и 937 не делятся на 7, то:
Аналогично:
Получили вычеты: [2, 1]
Дополняем до ПСВ по модулю 7:
Нужно добавить вычеты: [0, 3, 4, 5, 6]
Примеры подходящих чисел:
Ответ: ПСВ по модулю 7:
[23^{4567},\ 937^{4562},\ 0,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6]
Если нужно, могу также объяснить, как использовать Python для вычислений по модулю.