Проверить, образуют ли полную систему вычетов (ПСВ) по модулю [m] следующие наборы чисел

Предмет: Математика
Раздел: Теория чисел, арифметика по модулю, понятие полной системы вычетов (ПСВ)

Упражнение 44 (а и б)

Задание: Проверить, образуют ли полную систему вычетов (ПСВ) по модулю [m] следующие наборы чисел.

Теория:

Полная система вычетов по модулю [m] — это множество из [m] взаимно простых с [m] чисел, каждое из которых сравнимо по модулю [m] с одним и только одним из чисел [0, 1, 2, \ldots, m - 1].

Чтобы проверить, образует ли множество ПСВ по модулю [m]:

1. Приводим все числа по модулю [m].
2. Проверяем, получились ли [m] различных вычетов.

44а)

Числа: 235, 341, 638, 37, 76, 94, 291
Модуль: [m = 7]

Вычислим остатки по модулю 7:

• [235 \mod 7 = 4]
• [341 \mod 7 = 5]
• [638 \mod 7 = 0]
• [37 \mod 7 = 2]
• [76 \mod 7 = 6]
• [94 \mod 7 = 3]
• [291 \mod 7 = 1]

Получили вычеты: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] — все возможные вычеты по модулю 7.
Вывод: Да, это ПСВ по модулю 7.

44б)

Числа: 167, 274, 385, 486, 572, 627, 741
Модуль: [m = 8]

Вычислим остатки по модулю 8:

• [167 \mod 8 = 7]
• [274 \mod 8 = 2]
• [385 \mod 8 = 1]
• [486 \mod 8 = 6]
• [572 \mod 8 = 4]
• [627 \mod 8 = 3]
• [741 \mod 8 = 5]

Получили вычеты: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
(не хватает 0, зато все остальные есть, и они разные)

Вывод: Нет, это не ПСВ по модулю 8, так как отсутствует вычет [0].

Упражнение 45 (а и б)

Задание: Составьте ПСВ по модулю [m], содержащую указанные числа.

45а)

Числа: 234567, 9374562
Модуль: [m = 7]

Найдем остатки:

• [234567 \mod 7 = 0]
• [9374562 \mod 7 = 1]

Нам нужно дополнить до полной системы вычетов по модулю 7, то есть получить все вычеты [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6].

У нас уже есть: [0, 1]
Нужно добавить числа, дающие остатки: [2, 3, 4, 5, 6]

Примеры подходящих чисел:

• [2] (так как [2 \mod 7 = 2])
• [3]
• [4]
• [5]
• [6]

Ответ: ПСВ по модулю 7:
[234567, 9374562, 2, 3, 4, 5, 6]

45б)

Числа: [23^{4567}],\ 937^{4562}
Модуль: [m = 7]

Для определения вычетов, используем малую теорему Ферма:

Если [a] не делится на [p], то
[a^{p-1} \equiv 1 \mod p]

Так как 7 — простое, и 23 и 937 не делятся на 7, то:

• [23^{6} \equiv 1 \mod 7]
• [4567 \mod 6 = 1]
  Значит:
  [23^{4567} \equiv 23^1 \equiv 2 \mod 7] (так как [23 \mod 7 = 2])

Аналогично:

• [937 \mod 7 = 6]
• [4562 \mod 6 = 2]
  Значит:
  [937^{4562} \equiv 6^2 = 36 \equiv 1 \mod 7]

Получили вычеты: [2, 1]

Дополняем до ПСВ по модулю 7:

Нужно добавить вычеты: [0, 3, 4, 5, 6]

Примеры подходящих чисел:

• [0]
• [3]
• [4]
• [5]
• [6]

Ответ: ПСВ по модулю 7:
[23^{4567},\ 937^{4562},\ 0,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6]

Если нужно, могу также объяснить, как использовать Python для вычислений по модулю.