Преобразовать, а затем разложить по элементам строки (столбца) так, чтобы получился один определитель второго порядка

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Определители матриц

Задание: Преобразовать матрицу так, чтобы получился один определитель второго порядка, а затем выполнить разложение по элементам строки (столбца).

Данная матрица: \[ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 8 \\ 6 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]

Шаг 1: Преобразуем матрицу так, чтобы упростить работу с разложением. Для этого вычтем первую строку из всех остальных строк:

1. 1-ую строку оставляем без изменений: \[9 \quad 7 \quad 8 \]
2. Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на 2/3: \[ 6 - 9(2/3) \quad 4 - 7(2/3) \quad 5 - 8(2/3) \\ 6 - 6 \quad 4 - 14/3 \quad 5 - 16/3 \\ 0 \quad 4 - 7 \quad 5 - 8 \\ 0 \quad -3 \quad -3 \]
3. Из третьей строки вычтем первую умноженную на 1/9: \[ 1 - 9(1/9) \quad 2 - 7(1/9) \quad 3 - 8(1/9) \\ 1 - 1 \quad 2 - 7/9 \quad 3 - 8/9 \\ 0 \quad 2 - 7/9 \quad 3 - 8/9 \\ 0 \quad (18 - 7)/9 \quad (27 - 8)/9 \\ 0 \quad 11/9 \quad 19/9 \]

Итак, после модификаций у нас матрица выглядит следующим образом: \[ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 8 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 11/9 & 19/9 \end{vmatrix} \]

Шаг 2: Теперь разложим по первому столбцу: \[ 9 \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 11/9 & 19/9 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 7 & 8 \\ 11/9 & 19/9 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 7 & 8 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} \] Так как оба определителя второго и третьего члена умножены на 0, они равны 0, останется только первый член: \[ 9 [ \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 11/9 & 19/9 \end{vmatrix} ] \]

Шаг 3: Найдем определитель второго порядка: \[ \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 11/9 & 19/9 \end{vmatrix} = (-3) \times (19/9) - (-3) \times (11/9) = \frac{-57 + 33}{9} = \frac{-24}{9} = -8/3 \]

Шаг 4: Теперь найдем значение исходного определителя: \[ 9 \times [ -8/3 ] = 9 \times (-8)/3 = -72/3 = -24 \]

Ответ: Определитель данной матрицы равен -24.