Представьте данный класс вычетов как объединение классов вычетов по модулю [m]

Предмет: Математика
Раздел: Теория чисел — Кольца вычетов и арифметика по модулю

Упражнение 34 (только пункты а и б)

Задание: Представьте данный класс вычетов как объединение классов вычетов по модулю [m].

а) [ [2]_3, \, m = 12 ]

Рассмотрим класс [ [2]_3 ] — это множество всех чисел, сравнимых с 2 по модулю 3, то есть:

 [ [2]_3 = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv 2 \pmod{3} \} ] 

Теперь найдем все такие числа в пределах [0 \le x < 12]:

 [ x \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow x = 2, 5, 8, 11 ] 

Теперь представим каждый из этих элементов как класс вычетов по модулю 12:

 [ [2]_{12}, [5]_{12}, [8]_{12}, [11]_{12} ] 

Ответ:
 [ [2]_3 = [2]_{12} \cup [5]_{12} \cup [8]_{12} \cup [11]_{12} ] 

б) [ [2]_4, \, m = 12 ]

Аналогично, рассмотрим класс:

 [ [2]_4 = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv 2 \pmod{4} \} ] 

В пределах [0 \le x < 12] это:

 [ x = 2, 6, 10 ] 

Представим их как классы по модулю 12:

 [ [2]_{12}, [6]_{12}, [10]_{12} ] 

Ответ:
 [ [2]_4 = [2]_{12} \cup [6]_{12} \cup [10]_{12} ] 

Упражнение 36

Задание: Составьте таблицу сложения и умножения [ \mathbb{Z}_7 ]

Множество [ \mathbb{Z}_7 ] состоит из элементов:

 [ \mathbb{Z}_7 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} ] 

Таблица сложения в [ \mathbb{Z}_7 ]:

Таблица умножения в [ \mathbb{Z}_7 ]:

Если нужно выполнить пункты в) и г) из упражнения 34 или упражнение 35 — просто сообщите!