Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
решить 3
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (конечно-разностные методы, численное дифференцирование)
Дано:
Функция f(x) = x \sin x + x^2, \quad x \in [0;1]
Шаг h = 0.2
Задача:
Точки на отрезке [0;1] с шагом 0.2:
x_0=0, x_1=0.2, x_2=0.4, x_3=0.6, x_4=0.8, x_5=1.0
Вычислим значения функции в этих точках:
f(x) = x \sin x + x^2
Используем конечно-разностные формулы для вычисления:
В точке, близкой к началу (например, x_0=0):
Первая производная (односторонняя разностная формула вперед):
f'(x_0) \approx \frac{f(x_1) - f(x_0)}{h} = \frac{0.07973 - 0}{0.2} = 0.39865
Вторая производная (формула вперед):
f''(x_0) \approx \frac{f(x_2) - 2 f(x_1) + f(x_0)}{h^2} = \frac{0.31577 - 2 \cdot 0.07973 + 0}{0.04} = \frac{0.31577 - 0.15946}{0.04} = \frac{0.15631}{0.04} = 3.90775
В точке, близкой к середине (например, x_2=0.4):
Первая производная (центральная разностная формула):
f'(x_2) \approx \frac{f(x_3) - f(x_1)}{2h} = \frac{0.69878 - 0.07973}{0.4} = \frac{0.61905}{0.4} = 1.54763
Вторая производная (центральная разностная формула):
f''(x_2) \approx \frac{f(x_3) - 2 f(x_2) + f(x_1)}{h^2} = \frac{0.69878 - 2 \cdot 0.31577 + 0.07973}{0.04} = \frac{0.69878 - 0.63154 + 0.07973}{0.04} = \frac{0.14697}{0.04} = 3.67425
В точке, близкой к концу (например, x_5=1.0):
Первая производная (односторонняя разностная формула назад):
f'(x_5) \approx \frac{f(x_5) - f(x_4)}{h} = \frac{1.84147 - 1.21389}{0.2} = \frac{0.62758}{0.2} = 3.1379
Вторая производная (формула назад):
f''(x_5) \approx \frac{f(x_5) - 2 f(x_4) + f(x_3)}{h^2} = \frac{1.84147 - 2 \cdot 1.21389 + 0.69878}{0.04} = \frac{1.84147 - 2.42778 + 0.69878}{0.04} = \frac{0.11247}{0.04} = 2.81175
Для численного дифференцирования с шагом h погрешность первого порядка обычно пропорциональна h или h^2 (в зависимости от используемой формулы). Формула Рунге для уточнения вычисления производной:
f'_R \approx f'_h + \frac{f'_h - f'_{2h}}{2^p - 1}
где:
Для примера возьмём точку x_2=0.4 и вычислим f'(x_2) с шагом 2h=0.4:
С шагом 2h=0.4 центральная разность:
f'_{2h}(0.4) \approx \frac{f(0.8) - f(0)}{2h} = \frac{1.21389 - 0}{0.8} = 1.51736
Уточнённое значение:
f'_R = 1.54763 + \frac{1.54763 - 1.51736}{2^2 - 1} = 1.54763 + \frac{0.03027}{3} = 1.54763 + 0.01009 = 1.55772
Точка | f'(x) (приближ.) | f''(x) (приближ.) | f'(x) (уточнённое) |
---|---|---|---|
0 | 0.39865 | 3.90775 | - |
0.4 | 1.54763 | 3.67425 | 1.55772 |
1.0 | 3.1379 | 2.81175 | - |
Если нужно, могу помочь с деталями по другим точкам или с вычислением погрешностей для второй производной.