Построить таблицу значений функции на отрезке [0;1] с шагом h=0.2

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (конечно-разностные методы, численное дифференцирование)

Дано:
Функция f(x) = x \sin x + x^2, \quad x \in [0;1]
Шаг h = 0.2
Задача:

1. Построить таблицу значений функции на отрезке [0;1] с шагом h=0.2.
2. Найти приближённые значения первой f'(x) и второй f''(x) производных в точках, близких к началу, середине и концу отрезка, используя конечно-разностные формулы.
3. Вычислить погрешность результатов и провести уточнение по формуле Рунге.

1. Таблица значений функции

Точки на отрезке [0;1] с шагом 0.2:
x_0=0, x_1=0.2, x_2=0.4, x_3=0.6, x_4=0.8, x_5=1.0

Вычислим значения функции в этих точках:
f(x) = x \sin x + x^2

• f(0) = 0 \cdot \sin 0 + 0^2 = 0
• f(0.2) = 0.2 \cdot \sin 0.2 + (0.2)^2 = 0.2 \cdot 0.19867 + 0.04 = 0.03973 + 0.04 = 0.07973
• f(0.4) = 0.4 \cdot \sin 0.4 + 0.16 = 0.4 \cdot 0.38942 + 0.16 = 0.15577 + 0.16 = 0.31577
• f(0.6) = 0.6 \cdot \sin 0.6 + 0.36 = 0.6 \cdot 0.56464 + 0.36 = 0.33878 + 0.36 = 0.69878
• f(0.8) = 0.8 \cdot \sin 0.8 + 0.64 = 0.8 \cdot 0.71736 + 0.64 = 0.57389 + 0.64 = 1.21389
• f(1.0) = 1.0 \cdot \sin 1.0 + 1.0 = 1.0 \cdot 0.84147 + 1.0 = 0.84147 + 1.0 = 1.84147

2. Приближённое вычисление производных

Используем конечно-разностные формулы для вычисления:

• В точке, близкой к началу (например, x_0=0):
  Первая производная (односторонняя разностная формула вперед):
  f'(x_0) \approx \frac{f(x_1) - f(x_0)}{h} = \frac{0.07973 - 0}{0.2} = 0.39865

  Вторая производная (формула вперед):
  f''(x_0) \approx \frac{f(x_2) - 2 f(x_1) + f(x_0)}{h^2} = \frac{0.31577 - 2 \cdot 0.07973 + 0}{0.04} = \frac{0.31577 - 0.15946}{0.04} = \frac{0.15631}{0.04} = 3.90775

• В точке, близкой к середине (например, x_2=0.4):
  Первая производная (центральная разностная формула):
  f'(x_2) \approx \frac{f(x_3) - f(x_1)}{2h} = \frac{0.69878 - 0.07973}{0.4} = \frac{0.61905}{0.4} = 1.54763

  Вторая производная (центральная разностная формула):
  f''(x_2) \approx \frac{f(x_3) - 2 f(x_2) + f(x_1)}{h^2} = \frac{0.69878 - 2 \cdot 0.31577 + 0.07973}{0.04} = \frac{0.69878 - 0.63154 + 0.07973}{0.04} = \frac{0.14697}{0.04} = 3.67425

• В точке, близкой к концу (например, x_5=1.0):
  Первая производная (односторонняя разностная формула назад):
  f'(x_5) \approx \frac{f(x_5) - f(x_4)}{h} = \frac{1.84147 - 1.21389}{0.2} = \frac{0.62758}{0.2} = 3.1379

  Вторая производная (формула назад):
  f''(x_5) \approx \frac{f(x_5) - 2 f(x_4) + f(x_3)}{h^2} = \frac{1.84147 - 2 \cdot 1.21389 + 0.69878}{0.04} = \frac{1.84147 - 2.42778 + 0.69878}{0.04} = \frac{0.11247}{0.04} = 2.81175

3. Оценка погрешности и уточнение по формуле Рунге

Для численного дифференцирования с шагом h погрешность первого порядка обычно пропорциональна h или h^2 (в зависимости от используемой формулы). Формула Рунге для уточнения вычисления производной:

f'_R \approx f'_h + \frac{f'_h - f'_{2h}}{2^p - 1}

где:

• f'_h — производная, вычисленная с шагом h,
• f'_{2h} — производная, вычисленная с шагом 2h,
• p — порядок точности формулы (например, для центральной разности p=2).

Для примера возьмём точку x_2=0.4 и вычислим f'(x_2) с шагом 2h=0.4:

С шагом 2h=0.4 центральная разность:
f'_{2h}(0.4) \approx \frac{f(0.8) - f(0)}{2h} = \frac{1.21389 - 0}{0.8} = 1.51736

Уточнённое значение:
f'_R = 1.54763 + \frac{1.54763 - 1.51736}{2^2 - 1} = 1.54763 + \frac{0.03027}{3} = 1.54763 + 0.01009 = 1.55772

Итоги:

Если нужно, могу помочь с деталями по другим точкам или с вычислением погрешностей для второй производной.