Построить полином Ньютона максимальной возможной степени для вычисления суммы

Предмет: Математика, раздел численные методы (приближение функции и полиномы Ньютона).

Задание: Построить полином Ньютона максимальной возможной степени для вычисления суммы:

\[ S_n = \sum_{j=1}^{n} (2j - 1)^2 \]

Шаг 1: Развернем выражение для суммы \(S_n\).

Прежде всего, развернем \((2j - 1)^2\), чтобы понять, что выражает данная сумма:

\[ (2j - 1)^2 = 4j^2 - 4j + 1 \]

Теперь подставим это выражение в сумму:

\[ S_n = \sum_{j=1}^{n} (4j^2 - 4j + 1) \]

Эту сумму можно разбить на три отдельных суммы:

\[ S_n = 4 \sum_{j=1}^{n} j^2 - 4 \sum_{j=1}^{n} j + \sum_{j=1}^{n} 1 \]

Теперь решим каждую из этих сумм по известным формулам:

1. Сумма квадратов первых \(n\) чисел:

   \[ \sum_{j=1}^{n} j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

2. Сумма первых \(n\) чисел:

   \[ \sum_{j=1}^{n} j = \frac{n(n+1)}{2} \]

3. Сумма единиц:

   \[ \sum_{j=1}^{n} 1 = n \]

Теперь подставим все эти значения в исходное выражение для суммы \(S_n\):

\[ S_n = 4 \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) - 4 \left(\frac{n(n+1)}{2}\right) + n \]

Приведем это выражение к общему виду:

\[ S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n \]

Далее можно раскрыть скобки и упростить выражение, но можно уже сравнить это с предложенными опционами.

Шаг 2: Сравниваем предложенные ответы.

Теперь проверим предоставленные варианты ответа:

• Первый вариант: \( S_n = 1 + 8(n-1) + 9(n-1)(n-2) + \frac{4}{3}(n-1)(n-2)(n-3) \)
• Второй вариант: \( S_n = 1 + 9(n-1) + 8(n-1)(n-2) + \frac{4}{3}(n-1)(n-2)(n-3) \)
• Третий вариант: \( S_n = 1 + 9(n-1) + 8.5(n-1)(n-2) + \frac{4}{3}(n-1)(n-2)(n-3) \)

Шаг 3: Выбор правильного ответа.

Путем сравнений, правильным ответом является второй вариант: