Построить полином Ньютона максимально возможной степени для вычисления суммы

Предмет: Математика (Раздел: Полиномы Ньютона и численные методы)

Задача состоит в том, чтобы построить полином Ньютона максимально возможной степени для вычисления суммы \( S_n = \sum_{j=1}^{n}(2j-1)^2 \).

Шаг 1. Найдем выражение для суммы:

Посчитаем несколько первых значений суммы \( S_n \) для \( n = 1, 2, 3, 4 \):

  • \[ S_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1 \]
  • \[ S_2 = (2 \cdot 1 - 1)^2 + (2 \cdot 2 - 1)^2 = 1 + 9 = 10 \]
  • \[ S_3 = 1 + 9 + (2 \cdot 3 - 1)^2 = 1 + 9 + 25 = 35 \]
  • \[ S_4 = 1 + 9 + 25 + (2 \cdot 4 - 1)^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84 \]

Таким образом, значения последовательности \( S_n \) будут такими:

  • \( S_1 = 1 \)
  • \( S_2 = 10 \)
  • \( S_3 = 35 \)
  • \( S_4 = 84 \)
Шаг 2. Построение полинома Ньютона:

Используем метод конечных разностей для нахождения полинома Ньютона максимально возможной степени. Для этого создадим таблицу разностей.

\( n \)\( S_n \)Первая разностьВторая разностьТретья разность
11
2109
3352516
48449248

Третья разность является постоянной, что подтверждает, что мы можем найти полином третьей степени.

Шаг 3. Запись полинома:

Общий вид полинома Ньютона для этой последовательности имеет вид:

\[ S_n = S_1 + \Delta_1 (n-1) + \frac{\Delta_2}{2!}(n-1)(n-2) + \frac{\Delta_3}{3!}(n-1)(n-2)(n-3) \]

Где:

  • \( S_1 = 1 \) — начальное значение,
  • \( \Delta_1 = 9 \) — первая конечная разность,
  • \( \Delta_2 = 16 \) — вторая конечная разность,
  • \( \Delta_3 = 8 \) — третья конечная разность.

Тогда:

\[ S_n = 1 + 9(n-1) + 8(n-1)(n-2) + \left(\frac{8}{3}\right)(n-1)(n-2)(n-3) \]

Шаг 4. Сравнение с вариантами ответа:

Теперь сравним с предложенными вариантами:

  1. \( S_n = 1 + 8(n-1) + 9(n-1)(n-2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n-1)(n-2)(n-3) \)
  2. \( S_n = 1 + 9(n-1) + 8(n-1)(n-2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n-1)(n-2)(n-3) \)
  3. \( S_n = 1 + 9(n-1) + 8.5(n-1)(n-2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n-1)(n-2)(n-3) \)

\[ \boxed{S_n = 1 + 9(n-1) + 8(n-1)(n-2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n-1)(n-2)(n-3)} \]

Правильным будет второй вариант ответа:

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн