Построить интерполяционные сплайны

Предмет: Математика (численные методы)

Раздел: Интерполяция функций, сплайны

Условие задачи:

Функция задана таблицей:

x	0	2	4
f(x)	1.5	2.5	4.5

Построить интерполяционные сплайны:

1. Линейный сплайн
2. Параболический сплайн

1. Линейный сплайн

Линейный сплайн соединяет данные точки линейными функциями:

S(x) = P_1(x) \text{ для } x \in [0, 2]; \quad P_2(x) \text{ для } x \in [2, 4]

Мы знаем три точки:

1. x_0 = 0, \, y_0 = 1.5
2. x_1 = 2, \, y_1 = 2.5
3. x_2 = 4, \, y_2 = 4.5

Для участка [0, 2]:

Запишем уравнение прямой в виде P_1(x) = a_1x + b_1. Используя точки (0, 1.5) и (2, 2.5), найдем коэффициенты:

• P_1(0) = 1.5 \rightarrow b_1 = 1.5
• P_1(2) = 2.5 = a_1 \cdot 2 + 1.5, отсюда a_1 = \frac{2.5 - 1.5}{2} = 0.5

Получаем:

P_1(x) = 0.5x + 1.5

Для участка [2, 4]:

Также используем формулу прямой P_2(x) = a_2x + b_2. Используя точки (2, 2.5) и (4, 4.5), находим:

• P_2(2) = 2.5 \rightarrow 2a_2 + b_2 = 2.5
• P_2(4) = 4.5 \rightarrow 4a_2 + b_2 = 4.5

Решаем систему:

\[ \begin{cases} 2a_2 + b_2 = 2.5 \\ 4a_2 + b_2 = 4.5 \end{cases} \]

Вычитаем первое уравнение из второго:

(4a_2 + b_2) - (2a_2 + b_2) = 4.5 - 2.5 \\ 2a_2 = 2 \\ a_2 = 1

Подставляем в первое уравнение:

2 \cdot 1 + b_2 = 2.5 \\ b_2 = 0.5

Получаем:

P_2(x) = x + 0.5

Линейные сплайны:

• P_1(x) = 0.5x + 1.5 \quad \text{на отрезке } [0, 2]
• P_2(x) = x + 0.5 \quad \text{на отрезке } [2, 4]

2. Параболический сплайн

Предположим, что интерполяция на участке [0,4] задаётся параболой:

S(x) = a(x - 2)^2 + b(x - 2) + c

Функция должна проходить через все три точки:

S(0) = 1.5, \quad S(2) = 2.5, \quad S(4) = 4.5

Подставляем значения x=0, x=2 и x=4 в параболу:

• S(0) = a(0 - 2)^2 + b(0 - 2) + c = a \cdot 4 - 2b + c = 1.5
• S(2) = a(2 - 2)^2 + b(2 - 2) + c = c = 2.5
• S(4) = a(4 - 2)^2 + b(4 - 2) + c = a \cdot 4 + 2b + c = 4.5

Из второго уравнения знаем, что c = 2.5. Подставляем это значение в первое и третье уравнение:

• 4a - 2b + 2.5 = 1.5 \rightarrow 4a - 2b = -1
• 4a + 2b + 2.5 = 4.5 \rightarrow 4a + 2b = 2

Система:

\[ \begin{cases} 4a - 2b = -1 \\ 4a + 2b = 2 \end{cases} \]

Складываем систему:

8a = 1 \rightarrow a = 0.125

Подставляем в первое уравнение:

4 \cdot 0.125 - 2b = -1 \\ 0.5 - 2b = -1 \\ -2b = -1.5 \\ b = 0.75

Получаем:

S(x) = 0.125(x - 2)^2 + 0.75(x - 2) + 2.5

Параболический сплайн:

S(x) = 0.125(x - 2)^2 + 0.75(x - 2) + 2.5

Ответ:

Сравнивая с вариантами, правильный выбор:

\boxed{P_1(x) = 1.5 + 0.5x, \quad P_2(x) = 1.5 + 0.5x + 0.125(x-2)}