Оценить погрешность метода трапеций

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование)

Задача:
Вычислить определённый интеграл
\int_{-1}^{2} \frac{1}{2+x} \, dx
с помощью метода трапеций при n = 10, а также оценить погрешность этого метода.

Шаг 1: Формула метода трапеций

Метод трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right] 

где

• a = -1,
• b = 2,
• n = 10,
• h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - (-1)}{10} = \frac{3}{10} = 0.3,
• x_i = a + i \cdot h,
• f(x) = \frac{1}{2 + x}.

Шаг 2: Вычислим значения функции в узлах

Найдём значения x_i и f(x_i):

Шаг 3: Подставим в формулу метода трапеций

 T = \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right] 

Посчитаем сумму:

 S = f(x_0) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{9} f(x_i) + f(x_{10}) 

Подставим численные значения:

 S = 1 + 2(0.7692 + 0.625 + 0.5263 + 0.4545 + 0.4 + 0.3571 + 0.3226 + 0.2941 + 0.2703) + 0.25 

Сумма внутри скобок:

 0.7692 + 0.625 + 0.5263 + 0.4545 + 0.4 + 0.3571 + 0.3226 + 0.2941 + 0.2703 ≈ 4.0191 

Тогда:

 S ≈ 1 + 2 \cdot 4.0191 + 0.25 = 1 + 8.0382 + 0.25 = 9.2882 

Теперь вычислим интеграл:

 T = \frac{0.3}{2} \cdot 9.2882 = 0.15 \cdot 9.2882 ≈ 1.3932 

Шаг 4: Оценка погрешности метода трапеций

Погрешность метода трапеций оценивается по формуле:

 R_T = -\frac{(b - a)^3}{12 n^2} \cdot f''(\xi), \quad \text{для некоторого } \xi \in [a, b] 

Найдём вторую производную функции f(x) = \frac{1}{2 + x}:

• Первая производная:  f'(x) = -\frac{1}{(2 + x)^2} 
• Вторая производная:  f''(x) = \frac{2}{(2 + x)^3} 

На отрезке [-1, 2] максимум f''(x) достигается при минимальном 2 + x, т.е. при x = -1:

 f''(-1) = \frac{2}{(2 - 1)^3} = \frac{2}{1} = 2 

Теперь подставим в формулу погрешности:

 R_T \leq \frac{(2 - (-1))^3}{12 \cdot 10^2} \cdot 2 = \frac{27}{1200} \cdot 2 = \frac{54}{1200} = 0.045 

Ответ:

• Приближённое значение интеграла методом трапеций при n = 10:

  \int_{-1}^{2} \frac{1}{2+x} \, dx \approx 1.3932

• Оценка погрешности:

  |R_T| \leq 0.045