Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
∫_(-1)^2▒dx/(2+х) (n=10). . Оценить погрешность метода трапеций.
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование)
Задача:
Вычислить определённый интеграл
\int_{-1}^{2} \frac{1}{2+x} \, dx
с помощью метода трапеций при n = 10, а также оценить погрешность этого метода.
Метод трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла:
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]
где
Найдём значения x_i и f(x_i):
i | x_i | f(x_i) = \frac{1}{2 + x_i} |
---|---|---|
0 | -1.0 | 1/(2 + (-1)) = 1 |
1 | -0.7 | 1/(2 - 0.7) = 1/1.3 ≈ 0.7692 |
2 | -0.4 | 1/1.6 ≈ 0.625 |
3 | -0.1 | 1/1.9 ≈ 0.5263 |
4 | 0.2 | 1/2.2 ≈ 0.4545 |
5 | 0.5 | 1/2.5 = 0.4 |
6 | 0.8 | 1/2.8 ≈ 0.3571 |
7 | 1.1 | 1/3.1 ≈ 0.3226 |
8 | 1.4 | 1/3.4 ≈ 0.2941 |
9 | 1.7 | 1/3.7 ≈ 0.2703 |
10 | 2.0 | 1/4 = 0.25 |
T = \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right]
Посчитаем сумму:
S = f(x_0) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{9} f(x_i) + f(x_{10})
Подставим численные значения:
S = 1 + 2(0.7692 + 0.625 + 0.5263 + 0.4545 + 0.4 + 0.3571 + 0.3226 + 0.2941 + 0.2703) + 0.25
Сумма внутри скобок:
0.7692 + 0.625 + 0.5263 + 0.4545 + 0.4 + 0.3571 + 0.3226 + 0.2941 + 0.2703 ≈ 4.0191
Тогда:
S ≈ 1 + 2 \cdot 4.0191 + 0.25 = 1 + 8.0382 + 0.25 = 9.2882
Теперь вычислим интеграл:
T = \frac{0.3}{2} \cdot 9.2882 = 0.15 \cdot 9.2882 ≈ 1.3932
Погрешность метода трапеций оценивается по формуле:
R_T = -\frac{(b - a)^3}{12 n^2} \cdot f''(\xi), \quad \text{для некоторого } \xi \in [a, b]
Найдём вторую производную функции f(x) = \frac{1}{2 + x}:
На отрезке [-1, 2] максимум f''(x) достигается при минимальном 2 + x, т.е. при x = -1:
f''(-1) = \frac{2}{(2 - 1)^3} = \frac{2}{1} = 2
Теперь подставим в формулу погрешности:
R_T \leq \frac{(2 - (-1))^3}{12 \cdot 10^2} \cdot 2 = \frac{27}{1200} \cdot 2 = \frac{54}{1200} = 0.045
Приближённое значение интеграла методом трапеций при n = 10:
\int_{-1}^{2} \frac{1}{2+x} \, dx \approx 1.3932
Оценка погрешности:
|R_T| \leq 0.045