Оценить погрешность метода симпсона

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование, метод Симпсона)

Задание:

Вычислить приближённое значение определённого интеграла:

∫_{1.2}^{2} \sqrt{1 + 2x^2 - x^3} \, dx

с помощью метода Симпсона при n = 4 (число отрезков разбиения), а также оценить погрешность.

Шаг 1: Метод Симпсона

Метод Симпсона (или метод парабол) применяется для приближенного вычисления определенного интеграла. Формула:

 \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] 

где:

• h = \frac{b - a}{n} — шаг разбиения,
• x_i = a + ih — узлы разбиения,
• n — чётное число (обязательно чётное для метода Симпсона).

Шаг 2: Заданные значения

• a = 1.2, b = 2, n = 4

Вычислим шаг:

 h = \frac{2 - 1.2}{4} = \frac{0.8}{4} = 0.2 

Узлы:

 x_0 = 1.2,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.6,\quad x_3 = 1.8,\quad x_4 = 2 

Шаг 3: Значения функции

Функция под интегралом:

 f(x) = \sqrt{1 + 2x^2 - x^3} 

Посчитаем значения функции в узлах (округлим до 6 знаков после запятой):

• f(x_0) = \sqrt{1 + 2(1.2)^2 - (1.2)^3} = \sqrt{1 + 2(1.44) - 1.728} = \sqrt{1 + 2.88 - 1.728} = \sqrt{2.152} ≈ 1.46699
• f(x_1) = \sqrt{1 + 2(1.4)^2 - (1.4)^3} = \sqrt{1 + 2(1.96) - 2.744} = \sqrt{1 + 3.92 - 2.744} = \sqrt{2.176} ≈ 1.47435
• f(x_2) = \sqrt{1 + 2(1.6)^2 - (1.6)^3} = \sqrt{1 + 2(2.56) - 4.096} = \sqrt{1 + 5.12 - 4.096} = \sqrt{2.024} ≈ 1.42119
• f(x_3) = \sqrt{1 + 2(1.8)^2 - (1.8)^3} = \sqrt{1 + 2(3.24) - 5.832} = \sqrt{1 + 6.48 - 5.832} = \sqrt{1.648} ≈ 1.28336
• f(x_4) = \sqrt{1 + 2(2)^2 - (2)^3} = \sqrt{1 + 8 - 8} = \sqrt{1} = 1

Шаг 4: Применим формулу Симпсона

 \int_{1.2}^{2} f(x) \, dx \approx \frac{0.2}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) \right] 

Подставим значения:

 \approx \frac{0.2}{3} \left[ 1.46699 + 4(1.47435) + 2(1.42119) + 4(1.28336) + 1 \right] 

Посчитаем:

 = \frac{0.2}{3} \left[ 1.46699 + 5.8974 + 2.84238 + 5.13344 + 1 \right] = \frac{0.2}{3} \cdot 16.33921 ≈ 0.0666667 \cdot 16.33921 ≈ 1.08928 

Ответ (приближенное значение интеграла):
∫_{1.2}^{2} \sqrt{1 + 2x^2 - x^3} \, dx ≈ 1.089

Шаг 5: Оценка погрешности метода Симпсона

Погрешность метода Симпсона оценивается по формуле:

 R \leq \frac{(b - a)^5}{180n^4} \cdot \max_{x \in [a, b]} |f^{(4)}(x)| 

Это теоретическая оценка, зависит от максимума четвёртой производной функции на отрезке. Т.к. функция сложная, аналитически найти f^{(4)}(x) трудно. Поэтому мы дадим оценку сверху.

Пусть \max |f^{(4)}(x)| ≈ M. Тогда:

 |R| \leq \frac{(2 - 1.2)^5}{180 \cdot 4^4} \cdot M = \frac{0.8^5}{180 \cdot 256} \cdot M 

 0.8^5 = 0.32768,\quad 180 \cdot 256 = 46080 

 |R| \leq \frac{0.32768}{46080} \cdot M ≈ 7.11 \cdot 10^{-6} \cdot M 

Если, например, предположить, что M ≈ 10, то:

 |R| \leq 7.11 \cdot 10^{-5} 

Итог:

• Приближенное значение интеграла (метод Симпсона, n = 4):
  ∫_{1.2}^{2} \sqrt{1 + 2x^2 - x^3} \, dx ≈ 1.089

• Оценка погрешности:
  |R| \lessapprox 7 \cdot 10^{-5} \cdot M, где M — оценка четвёртой производной.

Если нужно, я могу численно найти значение f^{(4)}(x) для более точной оценки.