Отделить корни уравнения и уточнить их с точностью до 0,01 методом хорд

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Численные методы". Используем метод хорд для нахождения корней уравнения \(2 \sin(x) = x + 2\), уточнив их до точности 0,01.

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде \(f(x) = 0\):

\[ f(x) = 2 \sin(x) - x - 2 \]

Шаг 2: Выберем начальные приближения \(x_0\) и \(x_1\). Для этого найдем интервал, где функция меняет знак. Проверим, например, отрезок \([-4 ; -2]\).

\[ f(-4) = 2 \sin(-4) - (-4) - 2 \approx -0.567 + 4 - 2 = 1.433 \]

\[ f(-2) = 2 \sin(-2) - (-2) - 2 \approx -1.818 + 2 - 2 = -1.818 \]

Функция меняет знак на интервале \([-4, -2]\), значит существует корень.

Шаг 3: Модифицированная формула метода хорд:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1}) }{ f(x_n) - f(x_{n-1}) } \]

Для \(x_0 = -4\) и \(x_1 = -2\):

\[ f(x_0) = 1.433 \]

\[ f(x_1) = -1.818 \]

Шаг 4: Применим формулу разом:

\[ x_2 = x_1 - f(x_1) \frac{ x_1 - x_0 }{ f(x_1) - f(x_0) } \]

\[ x_2 = -2 - (-1.818) \cdot \frac{ -2 - (-4) }{ -1.818 - 1.433 } \]

\[ x_2 = -2 - (-1.818) \cdot (-0.6156) \]

\[ x_2 \approx -3.12 \]

Шаг 5: Применяем новый \(x_2\):

\[ f(-3.12) = 2 \sin(-3.12) - (-3.12) - 2 \approx -0.06206 + 3.12 - 2 = 1.058 \]

Шаг 6: Повторим процесс до точности 0.01. Обозначим это следующий раз примерно:

\[ x_3 = -2 - (-1.818) \cdot \frac{ -2 - (-3.12) }{ -1.818 - 1.058 } \]

\[ x_3 \approx -2 - (-1.818) \cdot \frac{ 1.12 }{ -2.876 } \]

\[ x_3 \approx -2 - (-0.7071) = -2 - 0.532 = -2.7071 \]

Шаг 7: Проверим значения функции для точности

\[ f(-2.7071) \approx 2 \sin(-2.7071) - (-2.7071) - 2 \approx -0.3907 + 2.7071 - 2 \approx 0.316 \]

Таким образом, повторяя этот процесс, пока разница между \(x_{n+1}\) и \(x_n\) не будет меньше 0.01, можно получить корень с требуемой точностью.

Ответ: значит, точный корень для искомого уравнения \(x ≈ \).