Определить в какой области значений аргумента задача вычисления функции плохо обусловлен

Предмет: Численные методы (вычислительная математика)

Раздел: Обусловленность задач и алгоритмов

Задание:

Вопрос состоит в том, в какой области значений аргумента \( x \geq 0 \) задача вычисления функции \( y = \ln{x} \) плохо обусловлена. Плохо обусловленная задача — это такая задача, в которой небольшие изменения во входных данных могут привести к значительным изменениям результата.

Рассмотрим функцию \( y = \ln{x} \):

Свойства функции:

• При \( x = 1 \), \( \ln{1} = 0 \). То есть в точке \( x = 1 \) значение функции известно и не вызывает проблем.
• При \( x < 1 \), значения \( \ln{x} \) становятся отрицательными и стремятся к минус бесконечности при \( x \to 0 \). В этой области возникают сложности с точными вычислениями, так как небольшие изменения в значении \( x \), близком к 0, могут значительно изменить результат.
• При \( x > 1 \), функция \( \ln{x} \) увеличивается относительно медленно, и вычисления обычно хорошо обусловлены.

Область плохой обусловленности:

Наиболее проблемной областью для вычисления функции \( \ln{x} \) является область значений \( x < 1 \). Это связано с тем, что при приближении \( x \) к 0 значения \( \ln{x} \) значительно изменяются, что вызывает трудности с точностью вычислений.

Ответ:

Требуемая область – \( x < 1 \).