Определить, при каких значениях аргумента задача вычисления функции обладает плохой обусловленностью

Предмет: Вычислительная математика

Раздел: Численные методы (обусловленность вычислительных задач)

Пояснение:

Вычислительная обусловленность функции зависит от чувствительности функции к малым изменениям аргумента. Если при малых изменениях \( x \) результат \( \sin{x} \) сильно изменяется, то задача обладает хорошей обусловленностью. Но если функция почти не изменяется при изменении аргумента (например, вблизи точек, где производная функции равна нулю), задача обладает плохой обусловленностью.

Плохая обусловленность возникает в тех точках, где производная функции \( \sin{x} \) близка к нулю, т.е. значения функции почти не меняются при изменениях \( x \). Производная от \( \sin{x} \) — это \( \cos{x} \). Когда \( \cos{x} \) близка к нулю, функция плохо обусловлена.

Производная \( \sin{x} \) равна нулю в точках, где:

\[ \cos{x} = 0 \quad \text{при} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Таким образом, если \( x \) принимает значения \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots \) (т.е. \( x = \frac{\pi}{2}(2k + 1) \), где \( k = 0, 1, 2, 3, \dots \)), задача вычисления \( \sin{x} \) становится плохо обусловленной, поскольку изменение \( x \) в этих точках приводит к очень малым изменениям значения \( \sin{x} \).

Решение:

Из всех предложенных вариантов, правильным является второй вариант:

\[ x = \frac{\pi}{2} (2k + 1), \quad k = 1, 2, \dots \]

Задание: Необходимо определить, при каких значениях аргумента \( x \geq 0 \) задача вычисления функции \( y = \sin{x} \) обладает плохой обусловленностью.