Определить максимальное количество итераций для метода итераций, применённого к уравнению

Предмет: Вычислительная математика

Раздел: Численные методы решения нелинейных уравнений (метод итераций)

Задание:

Определить максимальное количество итераций \( n \) для метода итераций, применённого к уравнению \( x = \varphi(x) \) с данными условиями.

Параметры задачи:

• Интервал: \([18, 42]\)
• Точность: \( \varepsilon = 0.054 \)
• Параметр \( q = \max \limits_{x \in [a,b]} | \varphi'(x) | = 0.4 \)

Формула для количества итераций:

Чтобы оценить максимальное количество итераций, воспользуемся формулой:

\[ n \geq \frac{\ln \left( \frac{L_{0}}{\varepsilon} \right)}{\ln \left( \frac{1}{q} \right)} \]

Где:

• \( L_0 \) — начальная погрешность, которую можно оценить как длину отрезка \([a, b]\), то есть \( L_0 = b - a \).
• \( \varepsilon \) — требуемая точность.
• \( q \) — константа, связанная с характеристикой сходимости метода.

Шаг 1: Определим начальную погрешность \( L_0 \)

\[ L_0 = b - a = 42 - 18 = 24 \]

Шаг 2: Подставим значения в формулу:

Дано:

• \( L_0 = 24 \)
• \( \varepsilon = 0.054 \)
• \( q = 0.4 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ n \geq \frac{\ln \left( \frac{24}{0.054} \right)}{\ln \left( \frac{1}{0.4} \right)} = \frac{\ln \left( 444.44 \right)}{\ln (2.5)} \]

Шаг 3: Найдём логарифмы:

Вычислим логарифмы:

• \( \ln(444.44) \approx 6.095 \)
• \( \ln(2.5) \approx 0.916 \)

Шаг 4: Рассчитаем количество итераций:

\[ n \geq \frac{6.095}{0.916} \approx 6.65 \]

Округлим до ближайшего большего целого, так как количество итераций — это целое число:

\[ n = 7 \]

Ответ:

Для достижения точности \( \varepsilon = 0.054 \) понадобится не менее \( 7 \) итераций.