Предмет: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Раздел: Оценка погрешностей (абсолютная и относительная погрешности).
Шаги решения:
Для решения задачи мы должны найти:
- Абсолютную погрешность: \[ \Delta x = x - \tilde{x} \]
- Первая норма вектора (манхэттенская норма) — это сумма модулей всех компонент вектора. Для вектора \(v = (v_1, v_2, v_3)\):
\[ \|v\|_1 = |v_1| + |v_2| + |v_3| \]
Таким образом, абсолютную и относительную погрешности по первой норме можно вычислить по следующим формулам:
- Первая норма абсолютной погрешности: \[ \|\Delta x\|_1 = \|x - \tilde{x}\|_1 = |x_1 - \tilde{x}_1| + |x_2 - \tilde{x}_2| + |x_3 - \tilde{x}_3| \]
- Первая норма вектора \(x\) (точного вектора): \[ \|x\|_1 = |x_1| + |x_2| + |x_3| \]
- Относительная погрешность по первой норме: \[ \delta = \frac{\|\Delta x\|_1}{\|x\|_1} \]
Дано:
- Точный вектор \(x = (-5, 7, 3)^{T}\)
- Приближённое решение \( \tilde{x} = (-3.95, 7.07, 3.57)^{T} \)
Найдём абсолютную погрешность:
Разница компонент векторов:
\[ \Delta x_1 = x_1 - \tilde{x}_1 = -5 - (-3.95) = -5 + 3.95 = -1.05 \]
\[ \Delta x_2 = x_2 - \tilde{x}_2 = 7 - 7.07 = -0.07 \]
\[ \Delta x_3 = x_3 - \tilde{x}_3 = 3 - 3.57 = -0.57 \]
Найдём первую норму \(\|\Delta x\|_1\) для абсолютной погрешности:
\[ \|\Delta x\|_1 = |-1.05| + |-0.07| + |-0.57| = 1.05 + 0.07 + 0.57 = 1.69 \]
Найдём первую норму вектора \(\|x\|_1\):
\[ \|x\|_1 = |-5| + |7| + |3| = 5 + 7 + 3 = 15 \]
Найдём относительную погрешность:
\[ \delta = \frac{1.69}{15} \approx 0.1127 \]
Ответ:
- Абсолютная погрешность: 1.69
- Относительная погрешность: 0.11