Оценить относительную погрешность разности двух приближенных чисел

Предмет: Математика

Раздел: Теория погрешностей и численные методы

Задача:

Нам нужно оценить относительную погрешность разности двух приближенных чисел \( x^*_1 = 36.9 \) и \( x^*_2 = 99.1 \), если их абсолютные погрешности равны \( \Delta(x^*_1) = \Delta(x^*_2) = 0.17 \).

Рассчитаем по следующему порядку:

1. Формула для относительной погрешности разности:

Для оценки относительной погрешности разности двух приближенных значений используется формула:

\[ \varepsilon(\Delta(x_1 - x_2)) = \frac{\Delta(x^*_1) + \Delta(x^*_2)}{|x^*_1 - x^*_2|} \]

где:

• \( \Delta(x^*_1) = \Delta(x^*_2) = 0.17 \) — абсолютные погрешности.
• \( x^*_1 = 36.9 \) и \( x^*_2 = 99.1 \) — приближенные числа.
• \( |x^*_1 - x^*_2| \) — модуль разности приближенных чисел.

2. Рассчитываем модуль разности чисел:

\[ |x^*_1 - x^*_2| = |36.9 - 99.1| = |-62.2| = 62.2 \]

3. Рассчитываем относительную погрешность разности:

Подставляем полученные данные в формулу:

\[ \varepsilon(\Delta(x_1 - x_2)) = \frac{0.17 + 0.17}{62.2} = \frac{0.34}{62.2} \approx 0.00547 \]

4. Округляем результат до двух значащих цифр:

Получаем:

\[ \varepsilon(\Delta(x_1 - x_2)) \approx 0.0055 \]

Ответ:

Относительная погрешность разности двух приближенных чисел равна \( \approx 0.0055 \).