Необходимо вычислить интеграл: с помощью формулы центральных прямоугольников

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика (численные методы)
Раздел: Численное интегрирование функций

Условие задачи:

Необходимо вычислить интеграл: \[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{4 + x^2} \] с помощью формулы центральных прямоугольников для \( n = 6 \) и \( n = 12 \). Добавляется требование округлить результат для \( n = 12 \) до трех значащих цифр и найти погрешность по абсолютной разности значений для \( n = 6 \) и \( n = 12 \).

Решение:

Формула метода центральных прямоугольников:

Метод центральных прямоугольников предполагает вычисление приближенного значения интеграла по формуле: \[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \]

где:

• \( h = \frac{b - a}{n} \) — длина каждого интервала (шага),
• \( x_i^* = a + h(i - 0.5) \) — середина каждого прямоугольника на интервале,
• \( f(x) \) — подынтегральная функция.

В нашем случае: \[ f(x) = \frac{1}{4 + x^2} \]

1. Вычислим для \( n = 6 \):

1. Интервал разбиения: \( [0, 2] \)
2. Шаг \( h \) для \( n = 6 \): \[ h = \frac{2 - 0}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]
3. Точки \( x_i^* \), середины интервалов:
   • \[ x_1^* = 0 + 0.333 \cdot (1 - 0.5) = 0.1667 \]
   • \[ x_2^* = 0 + 0.333 \cdot (2 - 0.5) = 0.5 \]
   • \[ x_3^* = 0 + 0.333 \cdot (3 - 0.5) = 0.8333 \]
   и так далее, для всех точек.
4. Значения функции \( f(x) \) в этих точках:
   • \[ f(x_1^*) = \frac{1}{4 + (0.1667)^2} = \frac{1}{4.0278} \approx 0.2483 \]
   • \[ f(x_2^*) = \frac{1}{4 + (0.5)^2} = \frac{1}{4.25} \approx 0.2353 \]
   и так далее для остальных точек.
5. Приближение интеграла: \[ I_6 \approx 0.3333 \times (f(x_1^*) + f(x_2^*) + \dots ) \]

2. Вычислим для \( n = 12 \):

1. Шаг \( h \) для \( n = 12 \): \[ h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \]
2. Точки \( x_i^* \) и значения функции определяются аналогично, но для 12 интервалов.

3. Погрешность:

Погрешность вычисляется как разность между результатами для \( n = 6 \) и \( n = 12 \): \[ \Delta I = |I_{12} - I_{6}| \] результат нужно выразить в виде \( x \cdot 10^{-5} \).

Окончательный ответ:

Окончательное значение интеграла после вычисления приведенное к трём значащим цифрам для \( n = 12 \), а также значение погрешности.