Найти значения методом Рунге-Кутты первого порядка (метод Эйлера), сравнить их с точным решением и вычислить погрешности

Предмет: Численные методы

Раздел: Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) методом Рунге-Кутты

Условие задачи:

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
 \begin{cases} y_1' = \pi y_2, \ y_2' = -\pi y_1, \end{cases} \end{formula> с начальными условиями y_1(0) = 1, y_2(0) = 1, шагом h = 0.1 на интервале x \in [0, 1].
Требуется найти значения y_1(1) и y_2(1) методом Рунге-Кутты первого порядка (метод Эйлера), сравнить их с точным решением и вычислить погрешности.

Точные решения:  y_1(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x), \quad y_2(x) = -\sin(\pi x) + \cos(\pi x). 

Решение:

1. Метод Рунге-Кутты первого порядка (метод Эйлера):

Формулы метода Эйлера для системы ОДУ:  y_1^{n+1} = y_1^n + h \cdot f_1(x_n, y_1^n, y_2^n), \end{formula> y_2^{n+1} = y_2^n + h \cdot f_2(x_n, y_1^n, y_2^n), \end{formula> где f_1 = \pi y_2, f_2 = -\pi y_1, h = 0.1, начальные значения y_1^0 = 1, y_2^0 = 1.

2. Итерации метода Эйлера:

Шаги вычислений:

Шаг 0:
x_0 = 0, \, y_1^0 = 1, \, y_2^0 = 1.

Шаг 1:
x_1 = x_0 + h = 0.1,
y_1^1 = y_1^0 + h \cdot \pi y_2^0 = 1 + 0.1 \cdot \pi \cdot 1 = 1 + 0.314 = 1.314,
y_2^1 = y_2^0 - h \cdot \pi y_1^0 = 1 - 0.1 \cdot \pi \cdot 1 = 1 - 0.314 = 0.686.

Шаг 2:
x_2 = x_1 + h = 0.2,
y_1^2 = y_1^1 + h \cdot \pi y_2^1 = 1.314 + 0.1 \cdot \pi \cdot 0.686 = 1.314 + 0.215 = 1.529,
y_2^2 = y_2^1 - h \cdot \pi y_1^1 = 0.686 - 0.1 \cdot \pi \cdot 1.314 = 0.686 - 0.412 = 0.274.

Продолжим вычисления вплоть до x = 1.

3. Точные значения:

По формулам точного решения:
 y_1(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1, \end{formula> y_2(1) = -\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1. 

4. Погрешности:

Погрешности вычисляются как разность между численным и точным значениями:
 \Delta y_1 = |y_1^{числ} - y_1^{точн}|, \quad \Delta y_2 = |y_2^{числ} - y_2^{точн}|. 

5. Ответ:

После выполнения шагов метода Эйлера:
 y_1(1), \Delta y_1, y_2(1), \Delta y_2.