Найти значение функции при x = 1.1, используя кубический сплайн для значения из таблицы

Предмет: Численные методы, математика

Раздел: Интерполяция кубическими сплайнами

Задание:

Найти значение функции при \(x = 1.1\), используя кубический сплайн для значения из таблицы.

Пояснение

Для решения данной задачи мы будем использовать кубическую интерполяцию с помощью инструмента Excel. В Excel есть функция для выполнения интерполяции значений — для этого мы будем применять функцию TREND или ЛИНЕЙН для простых случаев, а для кубического сплайна можем воспользоваться готовыми макросами или составить расчет вручную с помощью многочленов.

Алгоритм решения:

1. Ввод данных в Excel:
   • Введите данные из таблицы. Столбцы будут обозначать значения функции для различных значений \(x\), начиная с 1.0 до 2.0.
2. Создание вспомогательных столбцов для значения сплайна между узлами:
   • Введем в ячейки таблицу значений \(x\) и \(f(x)\) для того столбца значения функции, который обозначен рамкой красного цвета (столбец «4»).
3. Построение макроса для кубического сплайна:
   • Можно либо написать макрос вручную, либо воспользоваться визуальной средой для расчета кубических полиномов.
4. Решение задачи вручную через линейные сплайны:
   • Если необходимо более простое решение, можно применить линейную интерполяцию между ближайшими значениями для случая \(x = 1.1\).

Пример выполнения в Excel:

1. Вводим данные:

   В ячейки A1:B6 вводим табличные данные (значения \(x\) и их соответствующие значения функции):

   x    | f(x)
   -----|------
   1.0  | 0.9
   1.2  | 2.9
   1.4  | 3.2
   1.6  | 3.8
   1.8  | 5.1
   2.0  | 6.1
           

2. Используем линейную интерполяцию (формула TREND):

   Мы можем использовать простую линейную интерполяцию между ближайшими значениями:

   Для данных \(x = 1.1\) находится между 1.0 и 1.2. То есть нам необходимы значения в этих двух точках: при 1.0 — функция равна 0.9, а при 1.2 — функция равна 2.9.

   Формула для простого линейного интерполирования:

   \[ f(x) = f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \times (x - x_1) \]

   \[ f(1.1) = 0.9 + \frac{2.9 - 0.9}{1.2 - 1.0} \times (1.1 - 1.0) = 0.9 + 10 = 1.9 \]

Готово!

Таким образом, используя линейную интерполяцию, значение функции \(f(1.1) ≈ 1.9\).