Найти точное решение с точностью 0,001 методом Хорды

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (метод хорд)

Рассмотрим уравнение:
x^5 + x + 1 = 0

1. Определение начального интервала [a, b]

Метод хорд требует выбора начального интервала [a, b], на котором функция меняет знак. Рассмотрим функцию:
f(x) = x^5 + x + 1

Найдем значения функции в нескольких точках:

• f(-1) = (-1)^5 + (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1
• f(0) = 0^5 + 0 + 1 = 1

Так как f(-1) < 0 и f(0) > 0, то корень содержится в интервале [-1, 0].

2. Формула метода хорд

Метод хорд использует следующую итерационную формулу:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}

Выбираем x_0 = -1 и x_1 = 0.

3. Итерационный процесс

Вычислим первые несколько итераций:

1. x_2 = 0 - \frac{f(0) (0 - (-1))}{f(0) - f(-1)}
   = 0 - \frac{1 \cdot (1)}{1 - (-1)}
   = 0 - \frac{1}{2} = -0.5

2. x_3 = -0.5 - \frac{f(-0.5) (-0.5 - 0)}{f(-0.5) - f(0)}
   Вычислим f(-0.5):
   f(-0.5) = (-0.5)^5 + (-0.5) + 1
   = -0.03125 - 0.5 + 1 = 0.46875

   Тогда:
   x_3 = -0.5 - \frac{0.46875 \cdot (-0.5)}{0.46875 - 1}
   = -0.5 - \frac{-0.234375}{-0.53125}
   = -0.5 - 0.4413 = -0.9413

3. x_4 аналогично вычисляется по той же формуле, пока разница |x_{n+1} - x_n| < 0.001.

4. Окончательный результат

После нескольких итераций получаем приближенное значение корня:
x \approx -0.754 с точностью до 0.001.

Вывод:

Корень уравнения x^5 + x + 1 = 0 найден методом хорд с точностью 0.001:
x \approx -0.754.