Найти собственный вектор матрицы A методом обратных итераций, соответствующий приближённому собственному числу

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Собственные значения и собственные векторы матриц, вычислительные методы

Задача: Найти собственный вектор матрицы \( A \) методом обратных итераций, соответствующий приближённому собственному числу \( \lambda \approx -14 \).

Дано:

Матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -9 \\ 3 & 0 & 9 \\ -8 & -4 & -8 \end{pmatrix} \]

Собственное число \( \lambda \approx -14 \).

Начальное приближение вектора \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Необходимо выполнить две итерации метода обратных итераций.

---

Шаг 1: Описание метода обратных итераций

Метод обратных итераций основан на решении системы:

\[ (A - \lambda I) x^{(k+1)} = x^{(k)} \]

где \( A \) — исходная матрица, \( \lambda \) — приближённое собственное число, \( I \) — единичная матрица, \( x^{(k)} \) — текущее приближение для собственного вектора, а \( x^{(k+1)} \) — новое приближение.

Порядок действий:

1. Вычесть \( \lambda \) из диагональных элементов матрицы \( A \) (то есть составить матрицу \( A - \lambda I \)).
2. Решить систему \( (A - \lambda I)x^{(k+1)} = x^{(k)} \) для двух итераций.
3. После каждой итерации нормализовать вектор для предотвращения роста погрешностей.

---

Шаг 2: Построение матрицы \( A - \lambda I \)

Матрица \( I \) — это единичная матрица такого же размера, как и матрица \( A \):

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Вычтем \( \lambda I \) из матрицы \( A \), при этом \( \lambda = -14 \):

\[ A - \lambda I = A + 14 I = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -9 \\ 3 & 0 & 9 \\ -8 & -4 & -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & -9 \\ 3 & 14 & 9 \\ -8 & -4 & 6 \end{pmatrix} \]

Теперь нужно решать систему вида \( (A - \lambda I)x^{(k+1)} = x^{(k)} \).

---

Шаг 3: Первая итерация

Теперь решим систему \( (A - \lambda I)x^{(1)} = x^{(0)} \), где:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 10 & 0 & -9 \\ 3 & 14 & 9 \\ -8 & -4 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Решим систему:

\[ \begin{pmatrix} 10 & 0 & -9 \\ 3 & 14 & 9 \\ -8 & -4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \\ x_2^{(1)} \\ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Раскроем уравнения:

1. \( 10x_1^{(1)} - 9x_3^{(1)} = 1 \)
2. \( 3x_1^{(1)} + 14x_2^{(1)} + 9x_3^{(1)} = 1 \)
3. \( -8x_1^{(1)} - 4x_2^{(1)} + 6x_3^{(1)} = 1 \)

Решением этой системы будет \( x^{(1)} \).

---

Шаг 4: Нормализация и вторая итерация

После того как найдено \( x^{(1)} \), нормализуем вектор и повторим процесс для второй итерации, решая систему:

\[ (A - \lambda I)x^{(2)} = x^{(1)} \]