Найти приближённое значение положительного корня уравнения с использованием упрощённого метода Ньютона

Данное задание относится к предмету математика, в частности к разделу методы численного анализа, поскольку здесь используется метод Ньютона (Иногда его называют методом Ньютона-Рафсона).

Задание: Нам нужно найти приближённое значение положительного корня уравнения \( x^3 - x^2 - 1 = 0 \) с использованием упрощённого метода Ньютона.

Напоминание основ метода Ньютона:

Метод Ньютона используется для нахождения корней нелинейных уравнений и заключается в том, что мы начинаем с некоторой начальной точки \( x_0 \) и итеративно улучшаем приближение по следующей формуле:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

где:

• \( f(x) \) — функция, корень которой мы ищем;
• \( f'(x) \) — производная функции.

1. Задание функции и её производной:

Функция обозначена как:

\[ f(x) = x^3 - x^2 - 1 \]

Теперь найдем производную по \( x \):

\[ f'(x) = 3x^2 - 2x \]

2. Начальное приближение:

Для метода Ньютона нужно выбрать первое приближение \( x_0 \). Рассмотрим приблизительный корень. Если подставить \( x = 1 \):

\[ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1 \]

Значение отрицательное, значит корень больше 1. Попробуем \( x = 2 \):

\[ f(2) = 2^3 - 2^2 - 1 = 3 \]

Значение положительное, то есть корень лежит между 1 и 2. Можно взять начальное приближение \( x_0 = 1.5 \).

3. Применение метода Ньютона (1-я итерация):

Теперь используем формулу для нахождения следующего приближения. Напомним формулу:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

Для \( x_0 = 1.5 \):

1. Сначала вычислим \( f(1.5) = 1.5^3 - 1.5^2 - 1 = 0.125 \)
2. Теперь найдем \( f'(1.5) = 3 \times 1.5^2 - 2 \times 1.5 = 3.75 \)

Теперь подставляем в формулу метода Ньютона:

\[ x_{1} = 1.5 - \frac{0.125}{3.75} = 1.4667 \]

4. Применение метода Ньютона (2-я итерация):

Теперь найдём следующее приближение. Для \( x_1 = 1.4667 \):

1. Вычислим \( f(1.4667) = 1.4667^3 - 1.4667^2 - 1 = 0.0042 \)
2. Теперь найдём \( f'(1.4667) = 3 \times 1.4667^2 - 2 \times 1.4667 = 3.5211 \)

Теперь подставляем в формулу метода Ньютона:

\[ x_{2} = 1.4667 - \frac{0.0042}{3.5211} = 1.4655 \]

Ответ: Приближённое значение положительного корня уравнения \( x^3 - x^2 - 1 = 0 \) методом Ньютона после двух итераций равно 1.4655.

Таким образом, рассчитали приближённое решение задачи с помощью двух шагов метода Ньютона.