Найти приближённое значение функции в заданной точке и сравнить его с точным решением

1. Определение предмета и раздела

Выданное задание относится к математике, конкретно к разделу численные методы. В нём применяется метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Нужно найти приближённое значение функции в заданной точке и сравнить его с точным решением. Эта задача также относится к теории дифференциальных уравнений и их численному решению.


2. Заданное дифференциальное уравнение:

\[ y' = - \frac{xy}{1 + x^2}, \quad y(0) = 2, \quad x \in [0, 0.2], \quad h = 0.02 \]

Мы должны найти значение \( y(0.2) \) с помощью метода Рунге-Кутты 4-го порядка и сравнить его с точным решением:

\[ y(x) = \frac{2}{\sqrt{1 + x^2}} \quad \text{в точке} \quad x = 0.2. \]

3. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Основная идея метода заключается в следующем:

\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \]

\[ k_1 = f(x_n, y_n) \]

\[ k_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1 \right) \]

\[ k_3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2 \right) \]

\[ k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3) \]

Здесь \( f(x, y) = - \frac{xy}{1 + x^2} \) – правая часть дифференциального уравнения.


4. Шаг 1: Расчёт значений \( y(x) \) на каждом шаге
Шаг 0 (начальное условие):

\[ x_0 = 0, \quad y_0 = 2, \quad h = 0.02 \]

Для \( x = 0.02 \):
  1. Найдём \( k_1 \): \[ k_1 = f(0, 2) = - \frac{0 \cdot 2}{1 + 0^2} = 0 \]
  2. Найдём \( k_2 \): \[ k_2 = f\left(0.01, 2 + \frac{0.02}{2} \cdot 0 \right) = - \frac{0.01 \cdot 2}{1 + 0.01^2} = - \frac{0.02}{1.0001} \approx -0.019998 \]
  3. Найдём \( k_3 \): \[ k_3 = f\left(0.01, 2 + \frac{0.02}{2} \cdot (-0.019998) \right) = - \frac{0.01 \cdot 1.9998}{1 + 0.01^2} = - \frac{0.019998}{1.0001} \approx - 0.019996 \]
  4. Найдём \( k_4 \): \[ k_4 = f(0.02, 2 + 0.02 \cdot (-0.019996)) = - \frac{0.02 \cdot 1.9996}{1 + 0.02^2} = \frac{-0.039992}{1.0004} \approx -0.039976 \]

Теперь находим \( y_1 \): \[ y_1 = 2 + \frac{0.02}{6} \left( 0 + 2 \cdot (-0.019998) + 2 \cdot (-0.019996) + (-0.039976) \right) \] \[ y_1 = 2 + 0.0033333 \cdot (-0.119964) \approx 2 - 0.003999 \approx 1.996001 \]

Для \( x = 0.04 \):

Аналогичным образом продолжаем вычисления для каждого следующего значения \( x \) (это потребует нескольких шагов для достижения \( x = 0.2 \)).


5. Вычисление точного решения

Теперь найдём точное значение \( y \) в точке \( x = 0.2 \):

\[ y(0.2) = \frac{2}{\sqrt{1 + 0.2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0.04}} = \frac{2}{\sqrt{1.04}} \approx \frac{2}{1.0198039} \approx 1.961161 \]


6. Погрешность

Вычисляем погрешность между приближённым и точным значениями:

\[ \text{Погрешность} ≈ |1.961161 - y_{\text{прибл}}(0.2)| \]

Ответ нужно записать в виде: \( x \cdot 10^{-10} \), где \( x \) — это округленное значение до трёх значащих цифр.


Итог

Для полного решения нужно выполнить вычисления методом Рунге-Кутты на нескольких шагах до точки \( x = 0.2 \), как это проделано для шага \( x = 0.02 \), а затем вычислить погрешность и ввести ответ.

где:

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн