Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Выданное задание относится к математике, конкретно к разделу численные методы. В нём применяется метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Нужно найти приближённое значение функции в заданной точке и сравнить его с точным решением. Эта задача также относится к теории дифференциальных уравнений и их численному решению.
\[ y' = - \frac{xy}{1 + x^2}, \quad y(0) = 2, \quad x \in [0, 0.2], \quad h = 0.02 \]
Мы должны найти значение \( y(0.2) \) с помощью метода Рунге-Кутты 4-го порядка и сравнить его с точным решением:
\[ y(x) = \frac{2}{\sqrt{1 + x^2}} \quad \text{в точке} \quad x = 0.2. \]
Основная идея метода заключается в следующем:
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \]
\[ k_1 = f(x_n, y_n) \]
\[ k_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1 \right) \]
\[ k_3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2 \right) \]
\[ k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3) \]
Здесь \( f(x, y) = - \frac{xy}{1 + x^2} \) – правая часть дифференциального уравнения.
\[ x_0 = 0, \quad y_0 = 2, \quad h = 0.02 \]
Теперь находим \( y_1 \): \[ y_1 = 2 + \frac{0.02}{6} \left( 0 + 2 \cdot (-0.019998) + 2 \cdot (-0.019996) + (-0.039976) \right) \] \[ y_1 = 2 + 0.0033333 \cdot (-0.119964) \approx 2 - 0.003999 \approx 1.996001 \]
Аналогичным образом продолжаем вычисления для каждого следующего значения \( x \) (это потребует нескольких шагов для достижения \( x = 0.2 \)).
Теперь найдём точное значение \( y \) в точке \( x = 0.2 \):
\[ y(0.2) = \frac{2}{\sqrt{1 + 0.2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0.04}} = \frac{2}{\sqrt{1.04}} \approx \frac{2}{1.0198039} \approx 1.961161 \]
Вычисляем погрешность между приближённым и точным значениями:
\[ \text{Погрешность} ≈ |1.961161 - y_{\text{прибл}}(0.2)| \]
Ответ нужно записать в виде: \( x \cdot 10^{-10} \), где \( x \) — это округленное значение до трёх значащих цифр.
Для полного решения нужно выполнить вычисления методом Рунге-Кутты на нескольких шагах до точки \( x = 0.2 \), как это проделано для шага \( x = 0.02 \), а затем вычислить погрешность и ввести ответ.
где: