Предмет: Численные методы (математический анализ, вычислительная математика)
Раздел: Приближенные методы решения нелинейных уравнений
Задача: Необходимо найти максимальное количество итераций \( n \) метода простых итераций для поиска корня на интервале \([3, 4]\) с точностью \(\varepsilon = 0.062\)
Известно, что для уравнения итерационного процесса \( x = \varphi(x) \) выполняется условие \( q = \max_{x \in [a, b]} |\varphi'(x)| = 0.4 \)
Пояснение:
Метод простых итераций предполагает, что для нахождения корня нелинейного уравнения \( f(x) = 0 \) его преобразуют к виду \( x = \varphi(x) \), и для уточнения решения производят рекурсивный процесс \( x_{n+1} = \varphi(x_n) \). Для метода важно, чтобы модуль производной \( |\varphi'(x)| \) был меньше 1 на заданном интервале.
Формула для оценки числа итераций \( n \) выглядит так:
\[
n = \frac{\ln{\left(\frac{|x_1 - x_0|}{\varepsilon}\right)}}{\ln{\left(\frac{1}{q}\right)}}
\]
- \( x_1 \) и \( x_0 \) — начальные приближения (у нас это границы интервала \( [a,b] \)),
- \( \varepsilon \) — требуемая точность (в данном случае 0.062),
- \( q \) — максимальное значение производной \( |\varphi'(x)| \) на интервале (здесь \( q = 0.4 \)).
Решение:
- Для упрощения предположим, что \( |x_1 - x_0| = |4 - 3| = 1 \) (разница между границами интервала).
- Подставляем значения в формулу: \[
n = \frac{\ln{\left(\frac{1}{0.062}\right)}}{\ln{\left(\frac{1}{0.4}\right)}}
\]
- Вычислим каждый из логарифмов: \[
\ln{\left(\frac{1}{0.062}\right)} = \ln{16.129} \approx 2.78
\] \[
\ln{\left(\frac{1}{0.4}\right)} = \ln{2.5} \approx 0.916
\]
- Теперь подставляем значения: \[
n = \frac{2.78}{0.916} \approx 3.035
\]
- Округлим до большего целого числа (так как количество итераций должно быть целым): \[
n \approx 4
\]
Ответ: Максимальное количество итераций \( n = 4 \).