Найти максимальное количество итераций для достижения заданной точности

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, а конкретно к разделу численных методов. Это задание связано с приближённым решением нелинейных уравнений методом итераций на отрезке. Требуется найти максимальное количество итераций для достижения заданной точности.

Решение

В задании используется метод простых итераций для нахождения корня нелинейного уравнения.

Дано:

• Интервал: [19, 45]
• Требуемая точность: \( \varepsilon = 0.048 \)
• Производная \( \varphi'(x) \), максимальное значение которой на заданном интервале равно \( q = \max_{x\in[a,b]} |\varphi'(x)| = 0.4 \)

Для метода итераций количество шагов \( n \) вычисляется по следующей формуле:

\[ n \geq \frac{\ln\left(\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)}{\ln\left(\frac{1}{q}\right)} \]

где:

• \( \varepsilon_0 \) — начальная погрешность;
• \( \varepsilon \) — заданная точность;
• \( q \) — максимальное значение \( |\varphi'(x)| \), которое оценивает скорость сходимости метода.

Шаг 1. Оценка начальной погрешности \( \varepsilon_0 \)

Начальная погрешность \( \varepsilon_0 \) может быть оценена как длина интервала:

\[ \varepsilon_0 = b - a = 45 - 19 = 26 \]

Шаг 2. Подставляем данные в формулу

\[ n \geq \frac{\ln\left(\frac{26}{0.048}\right)}{\ln\left(\frac{1}{0.4}\right)} \]

Выполним вычисления:

\[ \frac{26}{0.048} \approx 541.67 \]

Теперь найдём натуральный логарифм:

\[ \ln(541.67) \approx 6.293 \]

Также найдём логарифм для \( \ln(1/0.4) \):

\[ \ln\left(\frac{1}{0.4}\right) = \ln(2.5) \approx 0.916 \]

Шаг 3. Вычисляем количество итераций

Теперь найдём \( n \):

\[ n \geq \frac{6.293}{0.916} \approx 6.87 \]

Так как \( n \) — это целое число, то округляем до 7.

Ответ:

Максимальное количество итераций \( n \) — 7 шагов.