Найти корень уравнения с точностью 0,05 методом Ньютона

Предмет: Математика Раздел: Численные методы, методы решения нелинейных уравнений

Метод Ньютона (Метод касательных)

Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения приближённых корней уравнения \( f(x) = 0 \). Идея заключается в том, что начиная с какого-то приближённого значения \( x_0 \), мы итерационно обновляем это значение по следующей формуле: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] где \( f'(x_n) \) — производная функции \( f(x) \) в точке \( x_n \).

Шаг 1. Записать уравнение и функцию

Заданное уравнение: \[ x^3 + x - 3 = 0 \] Определим функцию: \[ f(x) = x^3 + x - 3 \] Производная этой функции: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]

Шаг 2. Выбор начального приближения — \( x_0 \)

Шаг 3. Применение итерационного процесса

Применяем итерации по формуле метода Ньютона: - Для \( x_0 = 1.5 \): \[ f(1.5) = 1.5^3 + 1.5 - 3 = 3.375 + 1.5 - 3 = 1.875 \] \[ f'(1.5) = 3 \cdot (1.5)^2 + 1 = 3 \cdot 2.25 + 1 = 7.75 \] Обновляем значение: \[ x_1 = 1.5 - \frac{1.875}{7.75} = 1.5 - 0.2419 \approx 1.2581 \] - Для \( x_1 = 1.2581 \): \[ f(1.2581) = 1.2581^3 + 1.2581 - 3 = 2.0037 + 1.2581 - 3 = 0.2618 \] \[ f'(1.2581) = 3 \cdot (1.2581)^2 + 1 = 3 \cdot 1.5837 + 1 = 5.7511 \] Обновляем значение: \[ x_2 = 1.2581 - \frac{0.2618}{5.7511} = 1.2581 - 0.0455 \approx 1.2126 \] - Для \( x_2 = 1.2126 \): \[ f(1.2126) = 1.2126^3 + 1.2126 - 3 = 1.7822 + 1.2126 - 3 = -0.0052 \] \[ f'(1.2126) = 3 \cdot (1.2126)^2 + 1 = 3 \cdot 1.47044 + 1 = 5.41133 \] Обновляем значение: \[ x_3 = 1.2126 - \frac{-0.0052}{5.41133} = 1.2126 + 0.000961 \approx 1.2135 \] - Для \( x_3 = 1.2135 \): \[ f(1.2135) = 1.2135^3 + 1.2135 - 3 \approx 1.786 + 1.2135 - 3 = 0.00006 \] \[ f'(1.2135) = 3 \cdot (1.2135)^2 + 1 = 5.415 \] Обновляем значение: \[ x_4 = 1.2135 - \frac{0.00006}{5.415} \approx 1.2135 \]

Шаг 4. Округление корня

На четвёртой итерации полученное значение не изменилось с точностью до \( 0.05 \), следовательно, корнем будет: \[ x \approx 1.21 \quad \text{с точностью \( 0.05 \)} \]

Ответ: Корень уравнения \( x^3 + x - 3 = 0 \) с точностью 0,05: \( x \approx 1.21 \).

График функции \( f(x) = x^3 + x - 3 \) показывает, что корень лежит между значениями \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Мы возьмем начальное приближение \( x_0 = 1.5 \).