Найти корень уравнения lnx + x^2 = 0 с точностью 0,05 методом бисекции

Данное задание относится к предмету «математика», а конкретнее к разделу «математический анализ» и теме «численные методы решения уравнений».

Конкретный метод решения, который нужно использовать, — это метод бисекции (или метод половинного деления).

Шаг 1: Формулировка задачи

Уравнение, которое нужно решить: \[ \ln(x) + x^2 = 0 \] Наша цель — найти корень этого уравнения с точностью до 0,05. Для этого будем использовать метод бисекции.

Шаг 2: Определение функции

Перепишем уравнение как функцию: \[ f(x) = \ln(x) + x^2 \] Теперь наша задача сводится к нахождению такого значения \(x\), при котором \(f(x) = 0\).

Шаг 3: Поиск промежутка, на котором лежит корень

Для использования метода бисекции нужно найти промежуток \([a, b]\), на котором функция \(f(x)\) меняет знак, то есть выполняется \(f(a) \cdot f(b) < 0\). Для этого попробуем подставить несколько значений \(x\), чтобы проверить знаки функции на концах промежутка.

1. \(f(0.5) = \ln(0.5) + 0.5^2 = -0.6931 + 0.25 = -0.4431\) (отрицательное значение)
2. \(f(1.0) = \ln(1) + 1^2 = 0 + 1 = 1\) (положительное значение)

Таким образом, на промежутке \([0.5, 1.0]\) функция меняет знак, и, следовательно, в этом промежутке находится корень.

Шаг 4: Метод бисекции

Метод бисекции предполагает последовательное деление промежутка пополам и выбор той половины, на которой функция меняет знак.

1. Находим середину отрезка: \[ m = \frac{0.5 + 1.0}{2} = 0.75 \] Теперь вычислим значение функции в точке \(x = 0.75\): \[ f(0.75) = \ln(0.75) + 0.75^2 = -0.2877 + 0.5625 = 0.2748 \] Значение положительное. Таким образом, на отрезке \([0.5, 0.75]\) функция меняет знак, и корень лежит в этом промежутке.
2. Делим отрезок ещё раз. Находим середину: \[ m = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625 \] Вычислим значение функции в точке \(x = 0.625\): \[ f(0.625) = \ln(0.625) + 0.625^2 = -0.4700 + 0.3906 = -0.0794 \] Значение функции отрицательное, следовательно, корень лежит на отрезке \([0.625, 0.75]\).
3. Снова делим отрезок пополам: \[ m = \frac{0.625 + 0.75}{2} = 0.6875 \] Вычисляем значение функции: \[ f(0.6875) = \ln(0.6875) + 0.6875^2 = -0.3747 + 0.4727 = 0.098 \] Значение функции положительное, поэтому корень находится на отрезке \([0.625, 0.6875]\).
4. Делим отрезок пополам: \[ m = \frac{0.625 + 0.6875}{2} = 0.65625 \] Вычисляем значение функции: \[ f(0.65625) = \ln(0.65625) + 0.65625^2 = -0.4219 + 0.4307 = 0.0088 \] Значение всё ещё положительное, поэтому продолжаем поиск в промежутке \([0.625, 0.65625]\).
5. Последний шаг с точностью до 0.05: Нужно продолжать процесс, пока длина отрезка не станет меньше 0.05. Текущий отрезок \([0.625, 0.65625]\) уже подходит для нашей точности (длина \(0.65625 - 0.625 = 0.03125\)).

Шаг 5: Ответ

С точностью до 0.05 корень уравнения лежит в промежутке \([0.625, 0.65625]\). Приближённое значение корня — \(x \approx 0.64\).

Итог:

Корень уравнения \(\ln(x) + x^2 = 0\) находится вблизи \(\)x \approx 0.64\) с точностью до 0.05.