Найти количество итераций поиска корня с точностью 0.014 на отрезке [6, 40] с использованием метода бисекции

Предмет: Численные методы (Математика)

Раздел: Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Метод: Метод бисекции (деления отрезка пополам)

Задание:

Найти количество итераций поиска корня с точностью \(\varepsilon = 0.014\) на отрезке [6, 40] с использованием метода деления отрезка пополам (метод бисекции).

Решение:

В методе бисекции количество шагов (итераций), требуемых для достижения заданной точности \(\varepsilon\), можно найти по следующей формуле:

\[ n \geq \frac{\log_2 \left( \frac{b - a}{\varepsilon} \right)}{\log_2(2)} \]

где:

• [a, b] = [6, 40] — начальный отрезок;
• \(\varepsilon = 0.014\) — требуемая точность;
• n — количество итераций (шагов).

Шаг 1: Найдем длину исходного отрезка

\[ b - a = 40 - 6 = 34 \]

Шаг 2: Подставим данные в формулу

\[ n \geq \log_2 \left( \frac{34}{0.014} \right) = \log_2(2428.57) \]

Шаг 3: Найдем логарифм

\[ \log_2(2428.57) \approx 11.2434 \]

Шаг 4: Округлим количество шагов до целого числа

\[ n \geq 12 \]

Итак, минимальное количество итераций \( n \), необходимое для достижения точности \(\varepsilon = 0.014\) на отрезке от 6 до 40, составляет 12 итераций.

Ответ:

12 итераций.