Найти изолированное отрицательное решение уравнения методом деления отрезка с точностью E=0,001 (n – номер студента в журнале, n=1)

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (Метод деления отрезка, или метод бисекции)

Дано уравнение:

(n+1)x^3 - (n+2)x + 1 = 0

Так как номер студента n=1, подставим это значение в уравнение: (1+1)x^3 - (1+2)x + 1 = 0
2x^3 - 3x + 1 = 0

Необходимо найти изолированное отрицательное решение методом деления отрезка с точностью E = 0.001.

Шаг 1: Найдем промежуток, содержащий отрицательный корень

Рассмотрим функцию: f(x) = 2x^3 - 3x + 1

Подставим несколько значений:

• f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2) + 1 = -16 + 6 + 1 = -9
• f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2

Так как f(-2) < 0 и f(-1) > 0, то по теореме о промежуточных значениях корень находится в интервале [-2, -1].

Шаг 2: Метод бисекции (деления отрезка)

Метод бисекции заключается в том, что мы находим середину отрезка, вычисляем значение функции в этой точке и выбираем новый отрезок, содержащий корень.

1. Шаг 1:
   x_1 = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5
   f(-1.5) = 2(-1.5)^3 - 3(-1.5) + 1 = -6.75 + 4.5 + 1 = -1.25
   Так как f(-1.5) < 0, новый отрезок: [-1.5, -1].

2. Шаг 2:
   x_2 = \frac{-1.5 + (-1)}{2} = -1.25
   f(-1.25) = 2(-1.25)^3 - 3(-1.25) + 1 = -3.90625 + 3.75 + 1 = 0.84375
   Так как f(-1.25) > 0, новый отрезок: [-1.5, -1.25].

3. Шаг 3:
   x_3 = \frac{-1.5 + (-1.25)}{2} = -1.375
   f(-1.375) = 2(-1.375)^3 - 3(-1.375) + 1 = -5.18359 + 4.125 + 1 = -0.05859
   Так как f(-1.375) < 0, новый отрезок: [-1.375, -1.25].

4. Шаг 4:
   x_4 = \frac{-1.375 + (-1.25)}{2} = -1.3125
   f(-1.3125) = 2(-1.3125)^3 - 3(-1.3125) + 1 = -4.48242 + 3.9375 + 1 = 0.45508
   Так как f(-1.3125) > 0, новый отрезок: [-1.375, -1.3125].

5. Шаг 5:
   x_5 = \frac{-1.375 + (-1.3125)}{2} = -1.34375
   f(-1.34375) = 2(-1.34375)^3 - 3(-1.34375) + 1 = -4.82715 + 4.03125 + 1 = 0.2041
   Так как f(-1.34375) > 0, новый отрезок: [-1.375, -1.34375].

6. Шаг 6:
   x_6 = \frac{-1.375 + (-1.34375)}{2} = -1.359375
   f(-1.359375) = 2(-1.359375)^3 - 3(-1.359375) + 1 = -5.00146 + 4.078125 + 1 = -0.00879
   Так как f(-1.359375) < 0, новый отрезок: [-1.359375, -1.34375].

7. Шаг 7:
   x_7 = \frac{-1.359375 + (-1.34375)}{2} = -1.3515625
   f(-1.3515625) = 2(-1.3515625)^3 - 3(-1.3515625) + 1 = -4.91479 + 4.0546875 + 1 = 0.09717
   Так как f(-1.3515625) > 0, новый отрезок: [-1.359375, -1.3515625].

8. Шаг 8:
   x_8 = \frac{-1.359375 + (-1.3515625)}{2} = -1.35546875
   f(-1.35546875) = 2(-1.35546875)^3 - 3(-1.35546875) + 1 = -4.95837 + 4.06640625 + 1 = 0.04404
   Так как f(-1.35546875) > 0, новый отрезок: [-1.359375, -1.35546875].

Продолжая процесс, находим, что корень с точностью E = 0.001 находится примерно в точке:
x \approx -1.356.

Ответ: Приближенное отрицательное решение уравнения 2x^3 - 3x + 1 = 0 с точностью 0.001 равно x \approx -1.356.