Найти абсолютную и относительную погрешности по первой норме

Предмет задания: численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЧМЛАУ)

Раздел: оценка погрешностей при численном решении систем

Дано: Точный вектор: \((x = (-6, -2, -8)^T)\)
Приближённый вектор: \((\tilde{x} = (-4.44, -1.76, -6.24)^T)\)

Необходимо найти абсолютную и относительную погрешности по первой норме, также известной как Манхэттенская норма или норма по компонентам.

1. Вычисление абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность (по первой норме) вычисляется как сумма модулей разностей точного и приближённого решений по координатам:

\[\Delta x = \| x - \tilde{x} \|_1 = | x_1 - \tilde{x}_1 | + | x_2 - \tilde{x}_2 | + | x_3 - \tilde{x}_3 |\]

Подставляем значения:

\[\Delta x = | -6 - (-4.44) | + | -2 - (-1.76) | + | -8 - (-6.24) |\]

\[\Delta x = | -6 + 4.44 | + | -2 + 1.76 | + | -8 + 6.24 |\]

\[\Delta x = | -1.56 | + | -0.24 | + | -1.76 |\]

\[\Delta x = 1.56 + 0.24 + 1.76 = 3.56\]

Таким образом, абсолютная погрешность равна 3.56.

2. Вычисление относительной погрешности

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к норме точного вектора:

\[\delta x = \frac{\Delta x}{\| x \|_1 }\]

Норма точного вектора \(x\) по первой норме:

\[\| x \|_1 = | x_1 | + | x_2 | + | x_3 | = | -6 | + | -2 | + | -8 | = 6 + 2 + 8 = 16\]

Теперь вычислим относительную погрешность:

\[\delta x = \frac{3.56}{16} \approx 0.2225\]

Округляем до двух знаков после запятой:

Ответ:

• Абсолютная погрешность: 3.56
• Относительная погрешность: 0.22

\[\delta x \approx 0.22\]