Найти абсолютную и относительную погрешности для вектора x по первой норме

Задание связано с дисциплиной: Численные методы (раздел: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений).

Необходимо найти абсолютную и относительную погрешности для вектора \( x \) по первой норме.

Шаг 1: Определение первой нормы вектора

Первая норма вектора (или норма \( l_1 \)) вычисляется как сумма абсолютных значений его компонент.

Для точного значения вектора \( x = (-8, 7, -9)^T \):

\[\|x\|_1 = | -8 | + | 7 | + | -9 | = 8 + 7 + 9 = 24\]

Для приближённого значения вектора \( \tilde{x} = (-6.24, 8.33, -6.48)^T \):

\[\| \tilde{x} \|_1 = | -6.24 | + | 8.33 | + | -6.48 | = 6.24 + 8.33 + 6.48 = 21.05\]

Шаг 2: Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность между векторами \( x \) и \( \tilde{x} \) по первой норме определяется как:

\[\Delta x = \| x - \tilde{x} \|_1\]

Для вычисления разности векторов \( x - \tilde{x} \):

\[x - \tilde{x} = (-8 - (-6.24), 7 - 8.33, -9 - (-6.48)) = (-1.76, -1.33, -2.52)\]

Теперь найдём первую норму разности:

\[\| x - \tilde{x} \|_1 = | -1.76 | + | -1.33 | + | -2.52 | = 1.76 + 1.33 + 2.52 = 5.61\]

Таким образом, абсолютная погрешность:

\[\Delta x = 5.61\]

Шаг 3: Относительная погрешность

Относительная погрешность вычисляется по формуле:

\[\delta x = \frac{\| x - \tilde{x} \|_1}{\| x\|_1}\]

Подставив значения:

\[\delta x = \frac{5.61}{24} \approx 0.234\]

Шаг 4: Окончательный ответ

Абсолютная погрешность: 5.61

Относительная погрешность: 0.23

Ответ: 5.61, 0.23