Найти абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы в первой норме

Предмет: Численные методы

Раздел: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Числа обусловленности матриц)

Задание:

Необходимо найти абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме. Матрица \( A \) задана как:

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \]

Нужно провести расчёты, используя первую норму матрицы.

Шаг 1: Определение числа обусловленности

Число обусловленности матрицы \( A \) определяется следующим образом:

\[ \text{cond}(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| \]

Где \( \|A\| \) — норма матрицы \( A \), а \( \|A^{-1}\| \) — норма обратной матрицы \( A^{-1} \).

Шаг 2: Вычисление первой нормы матрицы

Первая норма матрицы (или столбцовая норма) считается как максимальная сумма по модулям элементов столбцов матрицы. Матрица \( A \) имеет вид:

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \]

Теперь считаем суммы модулей элементов для каждого столбца:

• Для первого столбца: \( |5| + |-8| = 5 + 8 = 13 \)
• Для второго столбца: \( |3| + |-5| = 3 + 5 = 8 \)

Значит, первая норма матрицы \( A \) равна:

\[ \|A\|_1 = \max(13, 8) = 13 \]

Шаг 3: Найти обратную матрицу \( A^{-1} \)

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся стандартной формулой для обратной матрицы \( 2 \times 2 \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A) \]

Где:

• \( \det(A) \) — определитель матрицы \( A \),
• \( \operatorname{adj}(A) \) — присоединённая матрица.

1. Определим определитель матрицы:

\[ \det(A) = 5 \cdot (-5) - 3 \cdot (-8) = -25 + 24 = -1 \]

2. Найдем присоединённую матрицу \( \operatorname{adj}(A) \):

Для матрицы \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \]

Присоединённая матрица для матрицы \( 2 \times 2 \) имеет вид:

\[ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} \]

3. Теперь найдём обратную матрицу \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Вычисление первой нормы обратной матрицы \( A^{-1} \)

Теперь нужно найти первую норму матрицы \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \]

Это матрица совпадает с матрицей \(A\), значит ее первая норма также равна:

\[ \|A^{-1}\|_1 = 13 \]

Шаг 5: Вычисление числа обусловленности

Теперь можем найти абсолютное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме:

\[ \text{cond}_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1 = 13 \cdot 13 = 169 \]

Ответ:

Абсолютное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме равно 169.