Найти абсолютное и максимальное относительное числа обусловленности матрицы в первой норме

Задание относится к курсу "Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений", а конкретно к разделу, посвященному исследованию чисел обусловленности матриц.

Условие:

Нужно найти абсолютное и максимальное относительное числа обусловленности матрицы \( A \) в первой норме. Матрица \( A \) задана как:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \]

Пояснение по числу обусловленности:

Число обусловленности матрицы \( A \) помогает понять, как чувствительно будет решение системы линейных уравнений \( Ax = b \) к изменениям в данных.

Абсолютное число обусловленности в первой норме определено как:

\[ \text{cond}_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1, \]

где \( \|A\|_1 \) — первая норма матрицы \( A \), а \( \|A^{-1}\|_1 \) — первая норма обратной матрицы \( A^{-1} \).

Шаги решения:

Шаг 1: Найдем первую норму матрицы \( A \)

Первая норма матрицы \( A \) (по столбцам) вычисляется как максимальная сумма абсолютных значений элементов столбцов.

\[ \|A\|_1 = \max \left( \sum_{i=1}^n |a_{i1}|, \sum_{i=1}^n |a_{i2}| \right) \]

Для нашей матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим суммы абсолютных значений в каждом столбце:

• Для первого столбца: \( |8| + |4| = 8 + 4 = 12 \),
• Для второго столбца: \( |-3| + |-8| = 3 + 8 = 11 \).

Следовательно:

\[ \|A\|_1 = \max(12, 11) = 12. \]

Шаг 2: Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Для матрицы 2×2 обратную матрицу можно найти следующим образом:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A), \]

где:

• \( \det(A) \) — определитель матрицы \( A \),
• \( \text{adj}(A) \) — присоединенная (сопряженная) матрица.

1. Найдём определитель матрицы \( A \):

\[ \det(A) = (8)(-8) - (-3)(4) = -64 + 12 = -52. \]

2. Найдём присоединённую матрицу \( A \). Для матрицы 2×2:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}. \]

Для нашей матрицы:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ -4 & 8 \end{pmatrix}. \]

3. Теперь найдем обратную матрицу \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{-52} \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{52} & \frac{-3}{52} \\ \frac{4}{52} & \frac{-8}{52} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{13} & \frac{-3}{52} \\ \frac{1}{13} & \frac{-2}{13} \end{pmatrix}. \]

Шаг 3: Найдем первую норму матрицы \( A^{-1} \)

Теперь рассчитаем первую норму для обратной матрицы \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{13} & \frac{-3}{52} \\ \frac{1}{13} & \frac{-2}{13} \end{pmatrix} \]

Теперь найдём суммы абсолютных значений по столбцам:

• Для первого столбца: \( \left|\frac{2}{13}\right| + \left|\frac{1}{13}\right| = \frac{2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{3}{13} \),
• Для второго столбца: \( \left|\frac{-3}{52}\right| + \left|\frac{-2}{13}\right| = \frac{3}{52} + \frac{8}{52} = \frac{11}{52} = \frac{11}{52} = \frac{11 \times 4}{52 \times 4} = \frac{11}{4} \).

Теперь максимум = ...