Напишите неравенство для оценки погрешности метода трапеций

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование)

Задание:

Написать неравенство, которое дает оценку погрешности метода трапеций.

Теория:

Метод трапеций используется для приближенного вычисления определенного интеграла:

 \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2} \left(f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)\right) 

где:

• h = \frac{b - a}{n} — шаг разбиения,
• x_i = a + i h, i = 0, 1, ..., n.

Оценка погрешности метода трапеций:

Погрешность метода трапеций можно оценить следующим неравенством:

 |R_T| \leq \frac{(b - a)^3}{12 n^2} \max_{x \in [a, b]} |f''(x)| 

где:

• R_T — погрешность метода трапеций,
• n — число отрезков (разбиений),
• f''(x) — вторая производная функции f(x).

Вывод:

Таким образом, неравенство для оценки погрешности метода трапеций имеет следующий вид:

 |R_T| \leq \frac{(b - a)^3}{12 n^2} \max_{x \in [a, b]} |f''(x)| 

Это неравенство позволяет оценить, насколько точно приближенное значение интеграла, полученное методом трапеций, приближает точное значение.