Это задача по предмету численные методы в разделе нахождения собственных значений и собственных векторов с помощью итеративных методов, или, более конкретно, задача на нахождение собственных векторов с помощью метода степенного итерационного процесса.

Шаг 1: Постановка задачи

Здесь дана система уравнений вида (A - \lambda I)y = x, где A — матрица, \(\lambda = 5.3\) — некоторое собственное значение (в данном случае это сдвиг). Мы собираемся найти собственные векторы системы с шагом нормализации. Получаемая система уравнений для первого шага итерации выглядит следующим образом: \[ \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1^{(1)} \\ y_2^{(1)} \\ y_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Цель: решить эту систему для \( y_1^{(1)} \), \( y_2^{(1)} \), \( y_3^{(1)} \).

Шаг 2: Решение системы линейных уравнений

Первое уравнение:

\[ -0.7y_1^{(1)} + 5y_2^{(1)} + 4y_3^{(1)} = 1 \]

Второе уравнение:

\[ y_1^{(1)} - 1.7y_2^{(1)} - 7y_3^{(1)} = 1 \]

Третье уравнение:

\[ -2y_1^{(1)} + 4y_2^{(1)} + 8.3y_3^{(1)} = 1 \]

Шаг 3: Решение системы

Чтобы решить систему, можно использовать метод подстановки или матричные методы, такие как метод Гаусса. Рассмотрим кратко решение методом подстановки.

Шаг 4: Нормализация вектора \(y^{(1)}\)

После того как найдены значения \( y_1^{(1)}, y_2^{(1)}, y_3^{(1)} \), нормализуем вектор \(y^{(1)}\), чтобы его длина была равна 1. Это достигается делением вектора на его длину \(\|y^{(1)}\|\), которая вычисляется как: \[ \|y^{(1)}\| = \sqrt{(y_1^{(1)})^2 + (y_2^{(1)})^2 + (y_3^{(1)})^2} \] Нормализованный вектор будет: \[ x^{(1)} = \frac{y^{(1)}}{\|y^{(1)}\|} \]

Шаг 5: Повторение итерации

После нормализации \(x^{(1)}\) заменяет начальное приближение, и процесс повторяется для второго шага итерации, чтобы получить приближение для второго вектора \(y^{(2)}\).

Финальное замечание

Таким образом, шаги повторяются до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность приближения векторов. Эта итерационная схема схожа с методом степенного итерационного процесса, где мы последовательно улучшаем приближение для собственных векторов и нормализуем их на каждом шаге.