Данное задание относится к математике, а конкретнее — к численным методам, которым обучают на курсах прикладной математики или вычислительной математики. Особенно задание связано с нахождением приближённых решений уравнений с помощью различных методик, таких как метод Ньютона, метод бисекции (деление отрезка пополам) и метод ложного положения.
Рассмотрим задания. Теоретическая часть:
1. Сформулировать постановку задачи о нахождении приближённого корня уравнения. Постановка задачи заключается в следующем: для уравнения \( f(x) = 0 \) требуется найти приближённые корни с заданной точностью \( \epsilon \), которые удовлетворяют условию \( |f(x_k)| < \epsilon \). Это может быть достигнуто, например, методами численного анализа, такими как метод прямых итераций, метод Ньютона, метод хорд, бисекции и так далее. 2. Уравнение \( x \sin{x} + \cos{x} = 0 \) имеет корень на отрезке [2, 3]. Сколько шагов по методу деления отрезка пополам следует выполнить, чтобы найти корень с точностью 0.01? При методе деления отрезка пополам (бисекции) количество шагов определяется по формуле: \[
n \ge \frac{\log_2(b - a) - \log_2(\epsilon)}{\log_2 2}
\] где \( a = 2 \), \( b = 3 \), и точность \( \epsilon = 0.01 \). Подставляем значения: \[
n \ge \frac{\log_2(3 - 2) - \log_2(0.01)}{\log_2 2} = \frac{\log_2(1) - \log_2(0.01)}{1}
\] \(\log_2(1) = 0\), а \( \log_2(0.01) \approx -6.64 \), таким образом: \[
n \ge 6.64
\] Следовательно, потребуется минимум 7 шагов. 3. Дать определение кратного корня. Кратный корень уравнения — это корень, при котором функция и её производные до некоторого порядка включительно принимают нулевые значения. Например, если функция \( f(x) \) имеет кратный корень \( x_0 \), то существует такой порядок \( k \), что: \[
f(x_0) = f'(x_0) = ... = f^{(k-1)}(x_0) = 0.
\] 4. Записать определение: что означает, что итерационный метод сходится с порядком, равным 2. Это означает, что точность приближения на каждом шаге итерационного метода увеличивается квадратично. Формально говоря, если \( x_n \) — приближённое решение на \(n\)-м шаге, а \( x \) — точное решение, то: \[
|x_{n+1} - x| \leq C |x_n - x|^2
\] где \( C \) — некоторая константа. 5. Доказать априорную оценку метода простой итерации. В методе простой итерации корень ищется по рекуррентной формуле: \[
x_{n+1} = \phi(x_n)
\] Если существует неподвижная точка \(x^*\), то \( \lim_{n \to \infty} x_n = x^*\), если выполняются условия сходимости, например, функция \( \phi(x) \) должна быть сжимающей. Априорная оценка будет выражаться через начальное приближение и скорость сходимости метода: если модуль производной функции \( |\phi'(x)| < 1 \) в точке корня, то сходимость гарантирована.
Практическая часть:
1. Найти корень уравнения \( x^3 + x - 3 = 0 \) с точностью 0.05 методом Ньютона. Метод Ньютона использует итерационную формулу: \[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\] Для данного уравнения \( f(x) = x^3 + x - 3 \), возьмём производную: \[
f'(x) = 3x^2 + 1
\] Затем начинаем с некоторого приближения. Предположим, что начальное приближение \( x_0 = 1.5 \). Теперь применим метод Ньютона: \[
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1.5 - \frac{(1.5)^3 + 1.5 - 3}{3(1.5)^2 + 1}
\] Вычислим значения: \[
f(1.5) = (1.5)^3 + 1.5 - 3 = 3.375 + 1.5 - 3 = 1.875
\] \[
f'(1.5) = 3(1.5)^2 + 1 = 3 \cdot 2.25 + 1 = 6.75 + 1 = 7.75
\] Тогда: \[
x_1 = 1.5 - \frac{1.875}{7.75} \approx 1.5 - 0.242 = 1.258
\] Повторим процедуру для следующего шага и продолжим до достижения точности \( 0.05 \). 2. Дано уравнение \( 2^x = 2 - x^2 \). Записать расчётную формулу метода ложного положения. Метод ложного положения использует формулу: \[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}
\] Здесь мы применим его, чтобы найти корень уравнения \( f(x) = 2^x - 2 + x^2 = 0 \). 3. Указать точку ложного положения для нахождения положительного корня уравнения. Для этого метода важно выбрать два начальных приближения \( x_0 \) и \( x_1 \) таким образом, чтобы \( f(x_0) \) и \( f(x_1) \) имели разные знаки.