Нахождение числа обусловленности с использованием метода итераций

Раздел предмета

Это задание относится к разделу численных методов, конкретно к теме приближения корней нелинейных уравнений. Речь идет о нахождении числа обусловленности с использованием метода итераций.

Описание задачи

Требуется вычислить число обусловленности для функции: \[ f(x) = x + \ln x \] на заданном интервале \([0.2, 0.9]\).

Шаги решения

1. Число обусловленности \( \kappa (x) \) вычисляется как: \[ \kappa (x) = \left| \frac{xf'(x)}{f(x)} \right| \] Здесь \(f(x)\) – сама функция, а \( f'(x) \) – ее производная. Рассчитаем производную функции.
2. Найдем производную \(f(x)\):
   • \[ f(x) = x + \ln x \]
   • Следовательно, производная: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{x} \]
3. Теперь вычислим число обусловленности на границе интервала, а именно при \(x = 0.2\) и \(x = 0.9\).

1. Для \(x = 0.2\):

• Функция: \[ f(0.2) = 0.2 + \ln 0.2 \approx 0.2 - 1.6094 = -1.4094 \]
• Производная: \[ f'(0.2) = 1 + \frac{1}{0.2} = 1 + 5 = 6 \]
• Число обусловленности: \[ \kappa(0.2) = \left| \frac{0.2 \times 6}{-1.4094} \right| = \left| \frac{1.2}{-1.4094} \right| \approx 0.8515 \]

2. Для \(x = 0.9\):

• Функция: \[ f(0.9) = 0.9 + \ln 0.9 \approx 0.9 - 0.105 = 0.795 \]
• Производная: \[ f'(0.9) = 1 + \frac{1}{0.9} = 1 + 1.111 \approx 2.111 \]
• Число обусловленности: \[ \kappa(0.9) = \left| \frac{0.9 \times 2.111}{0.795} \right| = \left| \frac{1.8999}{0.795} \right| \approx 2.39 \]

Сравним результаты на границах интервала: \(\kappa(0.2) = 0.85\) и \(\kappa(0.9) = 2.39\).

Ответ

Максимальное число обусловленности на интервале \([0.2, 0.9]\) — 2.4 (округлено до двух значащих цифр).