Методы решения СЛАУ (Метод Зейделя)

Предмет: Численные методы

Раздел: Методы решения СЛАУ (Метод Зейделя)

Дана система уравнений в матричной форме:

 A \cdot X = B 

где

 A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \ 1 & 6 & 2 \ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix} ,

 B = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 5 \end{pmatrix} .

Метод Зейделя (метод последовательных приближений) основан на итерационном процессе:

 x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right) 

1. Преобразуем систему к удобному виду

Перепишем систему в явном виде:

1. 5x_1 + x_2 - 3x_3 = 3
2. x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 4
3. 2x_1 + x_2 + 4x_3 = 5

Выразим каждую переменную:

 x_1 = \frac{1}{5} \left(3 - x_2 + 3x_3\right) 

 x_2 = \frac{1}{6} \left(4 - x_1 - 2x_3\right) 

 x_3 = \frac{1}{4} \left(5 - 2x_1 - x_2\right) 

2. Итерационный процесс

Выберем начальное приближение:
x_1^{(0)} = 0,
x_2^{(0)} = 0,
x_3^{(0)} = 0.

Выполним несколько итераций:

Итерация 1:  x_1^{(1)} = \frac{1}{5} (3 - 0 + 3 \cdot 0) = \frac{3}{5} = 0.6 

 x_2^{(1)} = \frac{1}{6} (4 - 0.6 - 2 \cdot 0) = \frac{4 - 0.6}{6} = \frac{3.4}{6} \approx 0.5667 

 x_3^{(1)} = \frac{1}{4} (5 - 2 \cdot 0.6 - 0.5667) = \frac{5 - 1.2 - 0.5667}{4} = \frac{3.2333}{4} \approx 0.8083 

Итерация 2:  x_1^{(2)} = \frac{1}{5} (3 - 0.5667 + 3 \cdot 0.8083) = \frac{3 - 0.5667 + 2.4249}{5} = \frac{4.8582}{5} \approx 0.9716 

 x_2^{(2)} = \frac{1}{6} (4 - 0.9716 - 2 \cdot 0.8083) = \frac{4 - 0.9716 - 1.6166}{6} = \frac{1.4118}{6} \approx 0.2353 

 x_3^{(2)} = \frac{1}{4} (5 - 2 \cdot 0.9716 - 0.2353) = \frac{5 - 1.9432 - 0.2353}{4} = \frac{2.8215}{4} \approx 0.7054 

Проводим итерации до достижения нужной точности. После нескольких итераций получаем приближенное решение:

 x_1 \approx 1.017 

 x_2 \approx 0.197 

 x_3 \approx 0.696 

Вывод

Метод Зейделя сходится к решению (1.017, 0.197, 0.696) с заданной точностью.