Методом секущих найти корень уравнения с точностью 0,1

Предмет: Численные методы (часть курса прикладной математики или вычислительных методов).

Раздел: Метод приближённых решений уравнений (метод секущих).

Постановка задачи:

Нам дано уравнение: \[ \sqrt{x} + x^2 = 10 \]

Нужно найти корень уравнения методом секущих с точностью 0.1.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для поиска корня уравнения с помощью метода секущих, его необходимо записать в форме: \[ f(x) = 0 \]

Переносим 10 влево: \[ f(x) = \sqrt{x} + x^2 - 10 = 0 \]

Теперь наша задача — найти такой \(x\), при котором \(\{f(x) = 0 \).

Шаг 2: Основная идея метода секущих

Метод секущих использует две начальные приближённые точки \( x_0 \) и \( x_1 \). На каждой итерации вычисляется новая приближённая точка согласно формуле:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \]

где:

• \(x_n\) — текущее приближение корня,
• \(x_{n-1}\) — предыдущее приближение корня.

При этом метод продолжается до тех пор, пока разница между \(x_{n+1}\) и \(x_n\) не станет меньше заданной точности.

Шаг 3: Определение начальных приближений

Метод секущих требует двух начальных приближений \(x_0\) и \(x_1\)}),

где функция меняет знак. Для этого давайте подставим несколько значений и посмотрим знаки выражения.

Исследуем значения функции \(f(x) = \sqrt{x} + x^2 - 10\):

1. Подставляем \( x = 1 \): \[ f(1) = \sqrt{1} + 1^2 - 10 = 1 + 1 - 10 = -8 \]
2. Подставляем \( x = 2 \): \[ f(2) = \sqrt{2} + 2^2 - 10 \approx 1.414 + 4 - 10 = -4.586 \]
3. Подставляем \( x = 3 \): \[ f(3) = \sqrt{3} + 3^2 - 10 \approx 1.732 + 9 - 10 = 0.732 \]

Видно, что между \(x = 2\) и \(x = 3\) функция меняет знак (отрицательное значение при \(x = 2\) и положительное при \(x = 3\))).

Это означает, что корень находится где-то в интервале \[2, 3\].

Начальные приближения выбираем: \[ x_0 = 2, \quad x_1 = 3 \]

Шаг 4: Применение метода секущих

Теперь начинаем итерации метода секущих:

1. Находим \(f(2)\) и \(f(3)\): \[ f(2) = -4.586, \quad f(3) = 0.732 \]
2. Вычисляем \(x_2\) по формуле секущих: \[ x_2 = 3 - \frac{0.732 \cdot (3 - 2)}{0.732 - (-4.586)} \]
3. \[ x_2 = 3 - \frac{0.732}{0.732 + 4.586} = 3 - \frac{0.732}{5.318} \approx 3 - 0.1376 = 2.8624 \]
4. Теперь подставляем \(x_2 = 2.8624\) в функцию: \[ f(2.8624) = \sqrt{2.8624} + (2.8624)^2 - 10 \]
5. \[ f(2.8624) \approx 1.691 + 8.195 - 10 = -0.114 \]

Итак, у нас:

\[ x_0 = 2.8624, \quad x_1 = 3 \]

и продолжаем итерации.

• На следующей итерации:
• \[ x_3 = 3 - \frac{0.732 \cdot (3 - 2.8624)}{0.732 - (-0.114)} \]
• \[ x_3 \approx 3 - \frac{0.732 \cdot 0.1376}{0.732 + 0.114} = 3 - \frac{0.1007}{0.846} \approx 3 - 0.119 = 2.881 \]
• Теперь вычисляем \(f(2.881)\): \[ f(2.881) = \sqrt{2.881} + (2.881)^2 - 10 \approx 1.697 + 8.296 - 10 = -0.007 \]

Ответ: Приближённый корень уравнения \(\sqrt{x} + x^2 = 10\) с точностью до 0.1 равен 2.9.

Мы достигли достаточно близкого результата, так как разность между текущими и предыдущими значениями \(x\) меньше 0.1.