Методом Эйлера найти пять значений функции у, определяемой уравнением

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное решение дифференциальных уравнений)

Нам необходимо решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

Дано:

Дифференциальное уравнение:
y' = \frac{2y}{x}

Начальное условие:
y(1) = 1

Шаг:
h = 0{,}2

Найти пять значений функции y, начиная с x = 1.

Метод Эйлера

Метод Эйлера позволяет приближенно решать дифференциальные уравнения. Общая формула метода:

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

где:

• f(x, y) — правая часть уравнения y' = f(x, y)
• h — шаг
• (x_n, y_n) — текущая точка

Шаг 1: Подготовка

Функция:
f(x, y) = \frac{2y}{x}

Начальные условия:
x_0 = 1,
y_0 = 1,
h = 0{,}2

Нам нужно найти 5 значений, то есть y_1, y_2, y_3, y_4, y_5

Шаг 2: Итерации

Первая итерация (n = 0):

x_0 = 1,
y_0 = 1
f(x_0, y_0) = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2
y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0{,}2 \cdot 2 = 1 + 0{,}4 = 1{,}4
x_1 = x_0 + h = 1{,}2

Вторая итерация (n = 1):

x_1 = 1{,}2,
y_1 = 1{,}4
f(x_1, y_1) = \frac{2 \cdot 1{,}4}{1{,}2} ≈ 2{,}333
y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 1{,}4 + 0{,}2 \cdot 2{,}333 ≈ 1{,}4 + 0{,}4667 ≈ 1{,}8667
x_2 = x_1 + h = 1{,}4

Третья итерация (n = 2):

x_2 = 1{,}4,
y_2 ≈ 1{,}8667
f(x_2, y_2) = \frac{2 \cdot 1{,}8667}{1{,}4} ≈ 2{,}6667
y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) ≈ 1{,}8667 + 0{,}2 \cdot 2{,}6667 ≈ 1{,}8667 + 0{,}5333 = 2{,}4
x_3 = x_2 + h = 1{,}6

Четвертая итерация (n = 3):

x_3 = 1{,}6,
y_3 = 2{,}4
f(x_3, y_3) = \frac{2 \cdot 2{,}4}{1{,}6} = 3
y_4 = y_3 + h \cdot f(x_3, y_3) = 2{,}4 + 0{,}2 \cdot 3 = 2{,}4 + 0{,}6 = 3
x_4 = x_3 + h = 1{,}8

Пятая итерация (n = 4):

x_4 = 1{,}8,
y_4 = 3
f(x_4, y_4) = \frac{2 \cdot 3}{1{,}8} ≈ 3{,}333
y_5 = y_4 + h \cdot f(x_4, y_4) = 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}333 ≈ 3 + 0{,}6667 = 3{,}6667
x_5 = x_4 + h = 2

Ответ:

Приближённые значения функции y(x) методом Эйлера:

Построение ломаной

Для построения ломаной нужно соединить точки:

• (1.0, 1.0)
• (1.2, 1.4)
• (1.4, 1.8667)
• (1.6, 2.4)
• (1.8, 3.0)
• (2.0, 3.6667)

Это можно сделать вручную на миллиметровке или с помощью графического ПО (Excel, Desmos, Python и т.д.)

Хочешь, я построю график в Python и покажу?