Исследовать числовой ряд на сходимость

Условие:

Исследовать числовой ряд на сходимость

Решение:

Этот вопрос относится к курсу математического анализа и разделу теории числовых рядов. Давайте проведем исследование числового ряда на сходимость. Дана сумма: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{3n^5 + 4}{n^6 + 2 + 6}} \] Во-первых, упростим выражение под корнем: \[ \sqrt{\frac{3n^5 + 4}{n^6 + 8}} \] Рассмотрим выражение \(\frac{3n^5 + 4}{n^6 + 8}\): Если \(n\) становится очень большим, \(n^6\) и \(3n^5\) будут доминировать по сравнению с 8 и 4 соответственно. Поэтому для больших значений \(n\) выражение можно приблизить к: \[ \frac{3n^5}{n^6} = \frac{3}{n} \] Следовательно, ряд можно упрощенно записать как: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{3}{n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{n}} = \sqrt{3} \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \] Теперь рассмотрим сходимость ряда \( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \): Это гармонический ряд с показателем \(\frac{1}{2}\), который известен как расходящийся. В частности, для \( p \)-серий вида: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p} \] ряд сходится, если \( p > 1 \), и расходится, если \( p \leq 1 \). В нашем случае \( p = \frac{1}{2} \leq 1 \), поэтому ряд \( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \) расходится. С учетом того, что этот ряд доминирует в исходном выражении, можно заключить, что и исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{3n^5 + 4}{n^6 + 8}} \] также расходится.